Wersja z 2019-01-05

Spis treści
Otwórz jako stronę bez ramek

Jak obliczyć pole pięciokąta foremnego?

Obliczenie pola kwadratu jest trywialne (`P = a^2`), proste jest także obliczenie pola trójkąta równobocznego (`P = (a^2 sqrt(3))/4`) i sześciokąta foremnego (który składa się z 6 trójkątów równobocznych, co po skróceniu daje `P = (3a^2 sqrt(3))/2`). Jak jednak obliczyć pole pięciokąta foremnego? Czy jest to możliwe bez korzystania z funkcji trygonometrycznych lub wziętych niewiadomo skąd, gotowych wzorów podanych w tablicach matematycznych?

Obliczenie długości przekątnej pięciokąta

Zacznijmy od wykreślenia w pięciokącie `ABCDE`, o danym boku `a`, dwóch przekątnych `AD` i `EC` przecinających się w punkcie `M`:

Regularny charakter figury pociąga za sobą równoległość boku `AB` i przekątnej `EC`, zatem czworokąt `ABCE` jest trapezem, w dodatku równoramiennym. Ale czworokąt `ABCD` również jest trapezem, zatem odcinki `AB` i `CM` są równoległe. Odcinki `BC` i `AM` także są równoległe, a każdy z nich ma długość `a`, czyli taką jak bok pięciokąta. Stąd wnioskujemy, że figura `ABCM` jest rombem. Jeśli obliczymy długość przekątnych `e` i `f` tego rombu (niebieskie linie na rysunku), będziemy mogli także obliczyć (w jednej z metod) jego pole jako połowy iloczynu przekątnych, ze wzoru `P = 1/2 e f`. Do obliczenia pola pięciokąta trzeba będzie jeszcze obliczyć pola trójkątów `AME`, `EMD` i `CMD`, przy czym trójkąty `AME` i `CMD` są przystające (czyli mają równe pola). Możemy też zacząć od trójkąta `EMD`. W każdym wypadku musimy najpierw obliczyć długość odcinka `EM`, którą oznaczyliśmy `b`. Taką samą długość ma odcinek `MD`, co wynika z symetrii pięciokąta.

Obliczenie długości `b`

Pierwszy sposób

Zauważmy, że przekątna rombu `AC` jest tej samej długości `e`, co `EC` (wszystkie przekątne pięciokąta foremnego są tej samej długości), a zatem wynosi `a + b`. Rozważmy teraz trójkąty `EMD` i `CMA`. Kąt przy wierzchołku `M` jest w obu trójkątach taki sam, bo kąty są wierzchołkowe. Każdy z trójkątów jest równoramienny (`EM = MD` oraz `CM = MA`), zatem także dwa pozostałe kąty są takie same w obu trójkątach. A skoro każdy z trójkątów ma 3 kąty o takich samych miarach, to znaczy, że trójkąty te są podobne.

Z podobieństwa trójkątów `EMD` i `CMA`, wynika, że stosunek podstawy do ramienia jest w każdym z nich taki sam: `(ED)/(DM) = (CA)/(AM)`. Przypominamy sobie, że `|AC| = e = a + b` (długości pozostałych odcinków oznaczone są na rysunku), zatem `a/b = (a+b)/a`. Zauważmy przy okazji, że mamy tu do czynienia z tzw. złotą proporcją: stosunek większej części (`a`) do mniejszej (`b`) jest taki sam, jak stosunek całości (`a + b`) do części większej (`a`).

Założyliśmy na wstępie, że długość boku pięciokąta `a` jest dana. Z podanej proporcji wyznaczymy więc `b`. Zaczynamy od wymnożenia wartości na krzyż: `(a + b)b = a^2`, skąd `b^2 + ab = a^2`. Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, w którym niewiadoma `b` występuje w potędze 1 i w potędze 2. Wyliczenie jej wartości (faktycznie zależności od `a`) wymaga umiejętności rozwiązywania tego typu równań. Można oczywiście korzystać z metody z użyciem wyznacznika (`Delta`), jednak z podanym równaniem bez problemu poradzi sobie uczeń szkoły podstawowej, który jeszcze nie zetknął się z tą metodą.

Podnieśmy do kwadratu sumę dwóch liczb `x` i `y`: `(x + y)^2 = (x + y)(x + y) = x^2 + xy + xy + y^2 = x^2 + 2xy + y^2`. Wzór `(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2` znany jest jako jeden z wzorów skróconego mnożenia (w wersji szkolnej stosuje się w nim litery `a` i `b`, ale w naszym zadaniu musimy zmienić te oznaczenia, by nie doprowadzić do konfliktu). Użyjemy go tu do zamiany strony prawej na lewą: `x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2`.

Niech w równaniu `b^2 + ab = a^2` litera `b` oznacza `x`. Chcemy, by `ab` oznaczało `2xy`; wówczas `a` będzie oznaczało `2y`, zatem `y` to `a/2`. Wtedy `y^2` będzie równe `a^2/4`. Dodajmy taki składnik do obu stron równania: `b^2 + ab + a^2/4 = a^2 + a^2/4`. Skoro `x^2 + 2xy + y^2` można zastąpić wyrażeniem `(x + y)^2`, to `b^2 + ab + a^2/4` można analogicznie wyrazić jako `(b + a/2)^2`. Wyrażenia po prawej stronie możemy natomiast dodać: `a^2 + a^2/4 = 4/4 a^2 + 1/4 a^2 = 5/4 a^2`. Zbierzmy zastosowane dotąd przekształcenia:

`a/b = (a+b)/a`

`(a + b)b = a^2`

`b^2 + ab = a^2`

`b^2 + ab + a^2/4 = a^2 + a^2/4`

`(b + a/2)^2 = a^2 + a^2/4`

`(b + a/2)^2 = 5/4 a^2`

Litery `a` i `b` oznaczają długości odcinków, są zatem dodatnie. Obie strony równania możemy więc spierwiastkować, otrzymując równoważne równanie:

`b + a/2 = sqrt(5)/2 a`

`b = sqrt(5)/2 a - 1/2 a`

`b = (sqrt(5) - 1)/2 a`

Drugi sposób

W drugim sposobie posłużymy się następującą analizą:

Zauważmy, że `|NC| = |ME| = b` oraz `|MC| = a` (zob. rysunek wcześniejszy), zatem `|MN| = a - b`. Równoramienne trójkąty `MDN` i `ADB` są podobne, więc stosunki ramienia do podstawy każdego z nich są równe:

`(DM)/(MN) = (DA)/(AB)`

czyli

`b/(a - b) = (a + b)/a`

`ab = (a - b)(a + b)`

`ab = a^2 - b^2`

`b^2 + ab = a^2`

skąd `b = (sqrt(5) - 1)/2 a` jak w poprzednim sposobie.

Obliczenie długości przekątnej pięciokąta

Niezależnie od wyboru metody, potrzebna nam będzie także długość przekątnej pięciokąta `e = a + b`. Obliczenie nie jest trudne:

`e = a + b = a + (sqrt(5) - 1)/2 a`

`e = 2/2 a + (sqrt(5) - 1)/2 a`

`e = (sqrt(5) + 2 - 1)/2 a`

`e = (sqrt(5) + 1)/2 a`

Liczbę `(sqrt(5) + 1)/2` nazywa się liczbą złotą i oznacza `phi`. Wówczas przekątna pięciokąta foremnego `e = a + b = phi a`. Zauważmy też, że `b = a/phi`. Wynika to choćby z proporcji `a/b = (a+b)/a` użytej w pierwszej metodzie obliczania `b`.

Kontynuacja obliczeń

Obliczenia będziemy kontynuować, stosując dwie metody, jedną z dwiema modyfikacjami.

Metoda pierwsza

W tej metodzie nie będziemy usiłować liczyć pola rombu `ABCM` ani wzmiankowanych wyżej trójkątów `AME`, `EMD` i `CMD`, a zamiast tego rozetniemy pięciokąt na 5 identycznych trójkątów; jednym z nich jest `AOB`. Pole całej figury jest pięciokrotnością pola takiego trójkąta. Pole trójkąta obliczymy jako połowę iloczynu długości podstawy `a` przez wysokość `r`, która tutaj jest jednocześnie promieniem okręgu wpisanego w pięciokąt: `P = 5 * 1/2 a r`.

Niestety nie znamy długości promienia okręgu wpisanego `r`. Aby go obliczyć, posłużymy się twierdzeniem Pitagorasa. otrzymując zależność `r^2 + (a/2)^2 = R^2`. Nie znamy jednak także promienia okręgu opisanego `R`, potrzebujemy więc innego związku, który pozwoli go wyrugować z obliczeń.

W tym celu rozpatrzmy trójkąt `ADB`. Użyjmy znów twierdzenia Pitagorasa, otrzymując `(R + r)^2 + (a/2)^2 = e^2`. Ponieważ długość przekątnej pięciokąta znamy już z poprzedniego etapu, możemy ułożyć układ równań z dwiema niewiadomymi, a następnie go rozwiązać.

`{((R + r)^2 + (a/2)^2 = e^2),(r^2 + (a/2)^2 = R^2),(e = (sqrt(5) + 1)/2 a):}`
`{((R + r)^2 + (a/2)^2 = ((sqrt(5) + 1)/2 a)^2),(r^2 + (a/2)^2 = R^2):}`
`{(R^2 + 2 R r + r^2 + (a/2)^2 = (5 + 2 sqrt(5) + 1)/2^2 a^2),(r^2 + (a/2)^2 = R^2):}`
`{(r^2 + (a/2)^2 + 2 R r + r^2 + (a/2)^2 = (6 + 2 sqrt(5))/4 a^2),(r^2 + (a/2)^2 = R^2):}`
`{(2 R r + 2 r^2 + 2 (a/2)^2 = (3 + sqrt(5))/2 a^2),(r^2 + (a/2)^2 = R^2):}`
`{(4 R r = (3 + sqrt(5)) a^2 - a^2 - 4 r^2),(r^2 + (a/2)^2 = R^2):}`
`{(4 R r = (2 + sqrt(5)) a^2 - 4 r^2),(r^2 + (a/2)^2 = R^2):}`
`{(R = ((2 + sqrt(5)) a^2 - 4 r^2)/(4r)),(r^2 + (a/2)^2 = (((2 + sqrt(5)) a^2 - 4 r^2)/(4r))^2):}`

`r^2 * (4r)^2 + (a/2)^2 * (4r)^2 = ((2 + sqrt(5)) a^2 - 4 r^2)^2`
`16r^4 + a^2/4 * 16 r^2 = (2 + sqrt(5))^2 * a^4 - 2 * (2 + sqrt(5)) a^2 * 4 r^2 + 16 r^4`
`a^2 * 4 r^2 = (2 + sqrt(5))^2 * a^4 - 8 * (2 + sqrt(5)) a^2 * r^2`
`4 r^2 + 8 * (2 + sqrt(5)) r^2 = (2 + sqrt(5))^2 a^2`
`4 r^2 + 16 r^2 + 8 sqrt(5) r^2 = (2 + sqrt(5))^2 a^2`
`(20 + 8 sqrt(5)) r^2 = (4 + 2*2*sqrt(5) + 5)^2 a^2`
`4(5 + 2 sqrt(5)) r^2 = (9 + 4 sqrt(5)) a^2`
`4(5 + 2 sqrt(5))(5 - 2 sqrt(5)) r^2 = (9 + 4 sqrt(5)) (5 - 2 sqrt(5)) a^2`
`4(25 - 20) r^2 = (45 - 18 sqrt(5) + 20 sqrt(5) - 40) a^2`
`4 * 5 r^2 = (5 + 2 sqrt(5)) a^2`
`2 * sqrt(5) r = a sqrt(5 + 2 sqrt(5))`
`2 * sqrt(5) * sqrt(5) r = a sqrt(5(5 + 2 sqrt(5)))`
`2 * 5 r = a sqrt(5(5 + 2 sqrt(5)))`
`r = (a sqrt(5(5 + 2 sqrt(5))))/10`

Jeśli interesuje nas promień okręgu opisanego `R`, możemy go obliczyć z zależności `r^2 + (a/2)^2 = R^2`. Otrzymujemy:

`R^2 = r^2 + (a/2)^2`

`R^2 = (sqrt(5(5 + 2 sqrt(5)))/10 a)^2 + (a/2)^2`

`R^2 = (5(5 + 2 sqrt(5)))/100 a^2 + a^2/4`

`R^2 = (5 + 2 sqrt(5))/20 a^2 + 5/20 a^2`

`R^2 = (10 + 2 sqrt(5))/20 a^2`

`R^2 = (5 + sqrt(5))/10 a^2`

`R = a sqrt((5 + sqrt(5))/10)`

`R = (a sqrt(10(5 + sqrt(5))))/10`

Wróćmy jednak do obliczenia pola pięciokąta foremnego. Podstawmy uzyskane wyrażenie `r = (a sqrt(5(5 + 2 sqrt(5))))/10` do wspomnianego wyżej wzoru:

`P = 5 * 1/2 * a * r`

`P = 5 * 1/2 * a * (a sqrt(5(5 + 2 sqrt(5))))/10`

Otrzymujemy szukany wzór na pole pięciokąta foremnego:

`P = (a^2 sqrt(5(5 + 2 sqrt(5))))/4`

Metoda druga

Obliczenie pola rombu `ABCM` jako faza 1

Spróbujmy teraz obliczyć pole rombu `ABCM`. Jak już wspomnieliśmy, jest ono równe `1/2 e f`. Znamy długość przekątnej `e`, jednak nie znamy długości `f`.

Wykorzystamy fakt, że przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym. Trójkąt `CSB` jest więc prostokątny, co z kolei pozwala obliczyć długość odcinka `SB` (równą `1/2 f`) z twierdzenia Pitagorasa. Mamy więc:

`|CS|^2 + |SB|^2 = |CB|^2`

`(1/2 e)^2 + (1/2 f)^2 = a^2`

`(1/2 * (sqrt(5) + 1)/2 a)^2 + (1/2 f)^2 = a^2`

`((sqrt(5) + 1)/4 a)^2 + (1/2 f)^2 = a^2`

`(sqrt(5) + 1)^2/16 a^2 + 1/4 f^2 = a^2`

`(sqrt(5) + 1)^2 a^2 + 4 f^2 = 16 a^2`

`(5 + 2 sqrt(5) + 1) a^2 + 4 f^2 = 16 a^2`

`4 f^2 = 16 a^2 - (6 + 2 sqrt(5)) a^2`

`4 f^2 = (16 - 6 - 2 sqrt(5)) a^2`

`4 f^2 = (10 - 2 sqrt(5)) a^2`

`2 f^2 = (5 - sqrt(5)) a^2`

`f^2 = (5 - sqrt(5))/2 a^2`

`f = a sqrt((5 - sqrt(5))/2)`

Stąd pole rombu `ABCM` wynosi:

`P_(ABCM) = 1/2 ef`

`P_(ABCM) = 1/2 * (sqrt(5) + 1)/2 a * a sqrt((5 - sqrt(5))/2)`

`P_(ABCM) = a^2 sqrt((sqrt(5) + 1)^2)/4 * sqrt((5 - sqrt(5))/2)`

`P_(ABCM) = a^2 sqrt((5 + 2sqrt(5) + 1)/16) * sqrt((5 - sqrt(5))/2)`

`P_(ABCM) = a^2 sqrt((6 + 2sqrt(5))/16 * (5 - sqrt(5))/2)`

`P_(ABCM) = a^2 sqrt(((3 + sqrt(5)) * (5 - sqrt(5)))/16)`

`P_(ABCM) = (a^2 sqrt(15 - 3 sqrt(5) + 5 sqrt(5) - 5))/4`

`P_(ABCM) = (a^2 sqrt(10 + 2 sqrt(5)))/4`

`P_(ABCM) = (a^2 sqrt(2(5 + sqrt(5))))/4`

`P_(ABCM) = 1/4 a^2 sqrt(2(5 + sqrt(5)))`

Obliczenie pola trójkąta `EMD` jako faza 2

Znając pole rombu `ABCM`, bez trudu obliczymy pole trójkąta `EMD`. Wystarczy zauważyć, że trójkąt ten jest podobny do trójkąta `CMA` stanowiącego połowę rombu `ABCM`. Skala podobieństwa wynosi `b/a`. Nie zapominajmy, że stosunek pól to kwadrat skali podobieństwa. Zatem:

`P_(EMD)/P_(CMA) = (b/a)^2`

`P_(EMD) = P_(CMA) (((sqrt(5) - 1)/2 a)/a)^2`

`P_(EMD) = 1/2 P_(ABCM) ((sqrt(5) - 1)/2)^2`

`P_(EMD) = 1/2 sqrt(2(5 + sqrt(5)))/4 a^2 * (sqrt(5) - 1)^2/4`

`P_(EMD) = (sqrt(2(5 + sqrt(5))) (5 - 2sqrt(5) + 1))/(2*16) a^2`

`P_(EMD) = (sqrt(2(5 + sqrt(5))) (3 - sqrt(5)))/16 a^2`

`P_(EMD) = (a^2 sqrt(2(5 + sqrt(5)) (9 - 2*3*sqrt(5) + 5)))/16`

`P_(EMD) = (a^2 sqrt(2(5 + sqrt(5)) (14 - 2*3*sqrt(5))))/16`

`P_(EMD) = (a^2 sqrt(2*2(5 + sqrt(5)) (7 - 3 sqrt(5))))/16`

`P_(EMD) = (2 a^2 sqrt(35 - 15 sqrt(5) + 7 sqrt(5) - 3*5))/16`

`P_(EMD) = (a^2 sqrt(20 - 8 sqrt(5)))/8`

`P_(EMD) = (a^2 sqrt(4*(5 - 2 sqrt(5))))/8`

`P_(EMD) = (2 a^2 sqrt(5 - 2 sqrt(5)))/8`

`P_(EMD) = (a^2 sqrt(5 - 2 sqrt(5)))/4`

`P_(EMD) = 1/4 a^2 sqrt(5 - 2 sqrt(5))`

Obliczenie brakujących pól trójkątów `EAM` i `DCM` dokonamy po zaprezentowaniu modyfikacji metody drugiej.

Obliczenie pola trójkąta `EMD` jako faza 1

Dokonamy teraz modyfikacji prezentowanej metody i obliczymy pole trójkąta `EMD` bezpośrednio, bez uprzedniego obliczenia pola rombu `ABCM`. Trójkąt ten jest równoramienny; oznaczmy wysokość padającą na jego podstawę `ED` przez `h`, jak na rysunku:

Wyprowadzimy teraz wzór na pole trójkąta równoramiennego o znanych bokach. Zauważmy, że pole trójkąta `EMD` będzie się równać `P_(EMD) = 1/2 ah`, zaś wysokość `h` da się wyznaczyć z twierdzenia Pitagorasa `b^2 = (a/2)^2 + h^2`, skąd `h^2 = b^2 - (a/2)^2` i ostatecznie `h = sqrt(b^2 - (a/2)^2)`. To pozwala zapisać wzór na pole dowolnego trójkąta równoramiennego jako

`P = 1/2 a sqrt(b^2 - (a/2)^2)`,

gdzie `a` oznacza podstawę, a `b` – ramię trójkąta.

W naszym wypadku oczywiście także `P_(EMD) = 1/2 a sqrt(b^2 - (a/2)^2)`. Oznaczenie wysokości `h` miało charakter pomocniczy i w dalszym ciągu nie będzie potrzebne. Aby obliczyć pole trójkąta `EMD` w zależności od danej długości boku pięciokąta `a`, podstawimy wyliczoną wyżej wartość `b = (sqrt(5) - 1)/2 a`:

`P_(EMD) = 1/2 a sqrt(b^2 - (a/2)^2)`

`P_(EMD) = 1/2 a sqrt(((sqrt(5) - 1)/2 a)^2 - (a/2)^2)`

`P_(EMD) = 1/2 a sqrt(((sqrt(5) - 1)/2)^2 a^2 - (1/2)^2 a^2)`

`P_(EMD) = 1/2 a sqrt((((sqrt(5) - 1)/2)^2 - (1/2)^2)a^2)`

`P_(EMD) = 1/2 a^2 sqrt((sqrt(5) - 1)^2/4 - 1^2/4)`

`P_(EMD) = 1/2 a^2 * 1/2 sqrt((sqrt(5) - 1)^2 - 1)`

`P_(EMD) = 1/4 a^2 sqrt(5 - 2 sqrt(5) + 1 - 1)`

`P_(EMD) = 1/4 a^2 sqrt(5 - 2 sqrt(5))`

Otrzymaliśmy wynik dokładnie taki sam, jak poprzednio.

Obliczenie pola rombu `ABCM` jako faza 2

Obliczymy teraz pole połowy rombu `ABCM`, czyli trójkąta `CMA`, które przy zastosowaniu tej metody nie jest nam jeszcze znane. W tym celu wykorzystajmy wyprowadzony wyżej wzór na pole trójkąta równoramiennego `P = 1/2 a sqrt(b^2 - (a/2)^2)`, który przyjmie postać:

`P_(CMA) = 1/2 e sqrt(a^2 - (e/2)^2)`

`e = (sqrt(5) + 1)/2 a`

`P_(CMA) = 1/2 ((sqrt(5) + 1)/2 a) sqrt(a^2 - (((sqrt(5) + 1)/2 a)/2)^2)`

`P_(CMA) = 1/2 (sqrt(5) + 1)/2 a sqrt(a^2 - ((sqrt(5) + 1)/4)^2 a^2)`

`P_(CMA) = 1/2 (sqrt(5) + 1)/2 a*a sqrt(1 - ((sqrt(5) + 1)/4)^2)`

`P_(CMA) = 1/4 a^2 (sqrt(5) + 1) sqrt(16/16 - (sqrt(5) + 1)^2/16)`

`P_(CMA) = 1/4 a^2 (sqrt(5) + 1) *1/4 sqrt(16 - (5 + 2 sqrt(5) + 1))`

`P_(CMA) = 1/16 a^2 (sqrt(5) + 1) sqrt(16 - 5 - 2 sqrt(5) - 1)`

`P_(CMA) = 1/16 a^2 sqrt((sqrt(5) + 1)^2) sqrt(10 - 2 sqrt(5))`

`P_(CMA) = 1/16 a^2 sqrt(5 + 2 sqrt(5) + 1) sqrt(10 - 2 sqrt(5))`

`P_(CMA) = 1/16 a^2 sqrt(6 + 2 sqrt(5)) sqrt(10 - 2 sqrt(5))`

`P_(CMA) = 1/16 a^2 sqrt(2) sqrt(3 + sqrt(5)) * sqrt(2) sqrt(5 - sqrt(5))`

`P_(CMA) = 1/16 a^2 * 2 sqrt((3 + sqrt(5))(5 - sqrt(5)))`

`P_(CMA) = 1/8 a^2 sqrt(15 - 3 sqrt(5) + 5 sqrt(5) - 5)`

`P_(CMA) = 1/8 a^2 sqrt(10 + 2 sqrt(5))`

Pole rombu jest dwukrotnie większe, wynosi zatem `P_(ABCM) = 1/4 a^2 sqrt(10 + 2 sqrt(5))`, co możemy zapisać także jako `P_(ABCM) = 1/4 a^2 sqrt(2(5 + sqrt(5)))`.

Obliczenie pól trójkątów `EAM` i `DCM`

Jak widać ze schematu, trójkąty te są przystające, wystarczy więc obliczyć pole jednego z nich. Są też równoramienne: ich ramię ma długość `a`, a podstawa długość `b`. Dla obliczenia pola jednego z tych trójkątów wykorzystamy poprzednio wyprowadzony wzór na pole trójkąta równoramiennego o znanych bokach (zwróćmy uwagę, co jest tu podstawą, a co ramieniem!):

`P_(EAM) = 1/2 b sqrt(a^2 - (b/2)^2)`, gdzie `b = (sqrt(5) - 1)/2 a`

`P_(EAM) = 1/2 * (sqrt(5) - 1)/2 * a * sqrt(a^2 - (((sqrt(5) - 1)/2 a)/2)^2)`

`P_(EAM) = (sqrt(5) - 1)/4 a * sqrt(a^2 - ((sqrt(5) - 1)/4 a)^2)`

`P_(EAM) = (sqrt(5) - 1)/4 a * sqrt(a^2 - (5 - 2 sqrt(5) + 1)/16 a^2)`

`P_(EAM) = (sqrt(5) - 1)/4 a * sqrt(a^2 - (6 - 2 sqrt(5))/16 a^2)`

`P_(EAM) = (sqrt(5) - 1)/4 a * sqrt(8/8 a^2 - (3 - sqrt(5))/8 a^2)`

`P_(EAM) = sqrt((sqrt(5) - 1)^2)/4 a * a sqrt((8 - 3 + sqrt(5))/8)`

`P_(EAM) = a^2 sqrt((5 - 2 sqrt(5) + 1)/16) * sqrt((5 + sqrt(5))/8)`

`P_(EAM) = a^2 sqrt((6 - 2 sqrt(5))/16) * sqrt((5 + sqrt(5))/8)`

`P_(EAM) = a^2 sqrt((3 - sqrt(5))/8) * sqrt((5 + sqrt(5))/8)`

`P_(EAM) = a^2 sqrt((3 - sqrt(5))/8 * (5 + sqrt(5))/8)`

`P_(EAM) = 1/8 a^2 sqrt((3 - sqrt(5)) * (5 + sqrt(5)))`

`P_(EAM) = 1/8 a^2 sqrt((15 + 3 sqrt(5) - 5 sqrt(5) - 5))`

`P_(EAM) = 1/8 a^2 sqrt(10 - 2 sqrt(5))`

`P_(EAM) = P_(DCM) = 1/8 a^2 sqrt(2(5 - sqrt(5)))`

Zsumowanie obliczonych pól

Pole pięciokąta `P` można zapisać jako sumę figur składowych: rombu, trójkąta górnego i dwóch trójkątów bocznych. Otrzymujemy zatem:

`P = P_(EMD) + P_(ABCM) + P_(EAM) + P_(DCM)`

`P = 1/4 a^2 sqrt(5 - 2 sqrt(5)) + 1/4 a^2 sqrt(2(5 + sqrt(5))) + 1/8 a^2 sqrt(2(5 - sqrt(5))) + 1/8 a^2 sqrt(2(5 - sqrt(5)))`

`P = 1/4 a^2 sqrt(5 - 2 sqrt(5)) + 1/4 a^2 sqrt(2(5 + sqrt(5))) + 1/4 a^2 sqrt(2(5 - sqrt(5)))`

`P = 1/4 a^2 (sqrt(5 - 2 sqrt(5)) + sqrt(2(5 + sqrt(5))) + sqrt(2(5 - sqrt(5))))`

`P = 1/4 a^2 (sqrt((sqrt(5 - 2 sqrt(5)) + sqrt(2(5 + sqrt(5))))^2) + sqrt(2(5 - sqrt(5))))`

`P = 1/4 a^2 (sqrt(5 - 2 sqrt(5) + 2 * sqrt(5 - 2 sqrt(5)) * sqrt(2(5 + sqrt(5))) + 2(5 + sqrt(5))) + sqrt(2(5 - sqrt(5))))`

`P = 1/4 a^2 (sqrt(5 - 2 sqrt(5) + 2 * sqrt(2 *(5 - 2 sqrt(5)) * (5 + sqrt(5))) + 10 + 2 sqrt(5)) + sqrt(2(5 - sqrt(5))))`

`P = 1/4 a^2 (sqrt(15 + 2 * sqrt(2 *(25 + 5 sqrt(5) - 10 sqrt(5) - 10))) + sqrt(2(5 - sqrt(5))))`

`P = 1/4 a^2 (sqrt(15 + 2 * sqrt(2 *(15 - 5 sqrt(5)))) + sqrt(2(5 - sqrt(5))))`

`P = 1/4 a^2 (sqrt(15 + 2 * sqrt(5 *(6 - 2 sqrt(5)))) + sqrt(2(5 - sqrt(5))))`

`P = 1/4 a^2 (sqrt(15 + 2 * sqrt(5 *(5 - 2 sqrt(5) + 1))) + sqrt(2(5 - sqrt(5))))`

`P = 1/4 a^2 (sqrt(15 + 2 sqrt(5) * (sqrt(5) - 1)) + sqrt(2(5 - sqrt(5))))`

`P = 1/4 a^2 sqrt((sqrt(15 + 2 sqrt(5) * (sqrt(5) - 1)) + sqrt(2(5 - sqrt(5))))^2)`

`P = 1/4 a^2 sqrt((sqrt(15 + 2 (5 - sqrt(5))) + sqrt(2(5 - sqrt(5))))^2)`

`P = 1/4 a^2 sqrt((sqrt(15 + 10 - 2 sqrt(5)) + sqrt(2(5 - sqrt(5))))^2)`

`P = 1/4 a^2 sqrt((sqrt(25 - 2 sqrt(5)) + sqrt(2(5 - sqrt(5))))^2)`

`P = 1/4 a^2 sqrt(25 - 2 sqrt(5) + 2 * sqrt(25 - 2 sqrt(5)) * sqrt(2(5 - sqrt(5)))+ 2(5 - sqrt(5)))`

`P = 1/4 a^2 sqrt(25 - 2 sqrt(5) + 2 * sqrt(2(125 - 25 sqrt(5) - 10 sqrt(5) + 2 * 5)) + 10 - 2 sqrt(5))`

`P = 1/4 a^2 sqrt(35 - 4 sqrt(5) + 2 sqrt(2(135 - 35 sqrt(5))))`

`P = 1/4 a^2 sqrt(35 - 4 sqrt(5) + 2 sqrt(5(54 - 14 sqrt(5))))`

`P = 1/4 a^2 sqrt(35 - 4 sqrt(5) + 2 sqrt(5(49 - 14 sqrt(5) + 5)))`

`P = 1/4 a^2 sqrt(35 - 4 sqrt(5) + 2 sqrt(5) * (7 - sqrt(5)))`

`P = 1/4 a^2 sqrt(35 - 4 sqrt(5) + 14 sqrt(5) - 2 * 5)`

`P = 1/4 a^2 sqrt(25 + 10 sqrt(5))`

`P = 1/4 a^2 sqrt(5(5 + 2 sqrt(5)))`

`P = (a^2 sqrt(5(5 + 2 sqrt(5))))/4`

Otrzymaliśmy wynik identyczny jak w metodzie pierwszej.

Spis treści
Otwórz jako stronę bez ramek