Wersja z 2015-03-03

Wektory, proste, płaszczyzny

Przypomnienie podstawowych wiadomości o wektorach

Jak wspomniano przy innej okazji, wektor można wyobrazić sobie:

Aby zachować zgodność z zasadami logiki, a w szczególności ze sztuką definiowania, tutaj będziemy zawsze uważać wektor za obiekt geometryczny podobny do odcinka, ale mający wyróżniony początek i koniec. O ile odcinki `bar(AB)` i `bar(BA)` są dokładnie tym samym, o tyle wektory `vec(AB)` i `vec(BA)` są różne. Możemy powiedzieć, że wektor powstaje z odcinka poprzez wskazanie jednego z końców odcinka jako początku wektora, albo inaczej mówiąc, poprzez uporządkowanie końców odcinka.

Wektory wyróżniają trzy cechy: kierunek, zwrot i długość. Długość wektora jest taka sama, jak długość odcinka, z którego wektor powstał; jest to liczba nieujemna. Jeśli długość wektora jest równa zero, to taki wektor nazywamy zerowym i oznaczamy `vec(0)`. Wektory mają ten sam kierunek, jeśli utworzono je z odcinków równoległych do siebie. Nie ma przy tym znaczenia, który koniec odcinka stał się początkiem wektora. Zwróćmy uwagę, że osoby poruszające się w (potocznie rozumianych) przeciwnych kierunkach po tej samej prostej, w języku terminologii nauk ścisłych poruszają się w tym samym kierunku (a dokładniej, wektory prędkości ich ruchu mają ten sam kierunek). Wreszcie zwrot wektora to własność zależna od tego, który koniec odcinka stał się początkiem wektora, a który jego końcem. Wektor można więc rozumieć jako odcinek z ustalonym zwrotem (ale wektor zerowy nie ma ustalonego zwrotu ani kierunku). Wektory mają ten sam zwrot, jeśli wskazują w tę samą stronę (potocznie mówimy „w tym samym kierunku”, ale w matematyce temu określeniu nadajemy inne znaczenie). Nie ma sensu porównywać zwrotów wektorów o różnych kierunkach. Wszystkie wektory mające ten sam kierunek mogą mieć dokładnie dwa różne zwroty. Jeśli dwa porównywane wektory mają ten sam kierunek i zwrot, nazywamy je równoległymi. Jeśli mają ten sam kierunek, ale różnią się zwrotem, są antyrównoległe.

Będziemy tu analizować wektory leżące na prostej (osi), na płaszczyźnie lub w przestrzeni trójwymiarowej (choć istnieją też wektory w przestrzeniach o większej ilości wymiarów). Odróżnimy też wektory swobodne od zaczepionych. Bardziej konkretne wektory zaczepione (oznaczane np. `vec(AB)`) o tym samym kierunku, zwrocie i długości są rozróżnialne (nietożsame), jeśli znajdują się w różnych miejscach osi, płaszczyzny (czy przestrzeni). Bardziej abstrakcyjne wektory swobodne (oznaczane np. `vec(u)`) nie mają określonego położenia. Wektor swobodny to rodzaj uogólnienia wszystkich wektorów zaczepionych o tym samym kierunku, zwrocie i długości. Można traktować ten obiekt jako matematyczny odpowiednik przesunięcia znanego w świecie fizycznym. Równe sobie wektory zaczepione są konkretnymi wystąpieniami wektora swobodnego.

Wektory w układzie współrzędnych

To, co potocznie nazywamy przestrzenią, jest w istocie obiektem trójwymiarowym. Matematyka bada także przestrzenie o innej ilości wymiarów, w tym przestrzenie dwuwymiarowe, bardziej znane jako powierzchnie, przestrzenie jednowymiarowe, czyli krzywe, czy wreszcie najprostsze przestrzenie zerowymiarowe – punkty. Przestrzenie o wymiarze większym niż zero można traktować jako zbiory punktów o określonych właściwościach. Aby ułatwić analizę takiej przestrzeni, często wprowadza się w niej układ współrzędnych. Taki układ wyróżnia pewne punkty przestrzeni i pozwala na opisanie położenia innych punktów względem tych wyróżnionych. Mówiąc prościej, choć mniej ściśle, układ współrzędnych ułatwia orientację w badanej przestrzeni. Bez układu współrzędnych możemy opisywać tylko położenie względne obiektów w badanej przestrzeni – to znaczy położenie jednych obiektów względem drugich. Dodanie układu współrzędnych wyróżnia pewne obiekty, i wówczas położenie wszystkich innych podajemy względem tych wyróżnionych, co najczęściej ułatwia badania.

Wektory w przestrzeni jednowymiarowej

Najprostszym typem przestrzeni jednowymiarowej, czyli (linii) krzywej, jest (jakkolwiek dziwnie to nie zabrzmi) prosta. Po prostej możemy poruszać się tylko w jeden sposób – wzdłuż niej, w tym samym kierunku (w sensie matematycznym, nie potocznym!), choć ruch ten może mieć dwa różne zwroty (potocznie: przeciwne kierunki). Jeśli w jakikolwiek sposób uda nam się odróżnić te zwroty (np. nazywając jeden z nich dodatnim, a drugi ujemnym), prosta stanie się osią. Zauważmy, że oś tym różni się od prostej, czym wektor różni się od odcinka.

Wyróżnijmy teraz jeden z punktów naszej osi, i przypiszmy mu liczbę zero. Będziemy mówić, że współrzędna tego punktu równa jest zero. Punkt ten nazwiemy początkiem układu współrzędnych. Po jednej stronie tego wyróżnionego punktu będą wówczas leżeć wszystkie punkty o współrzędnych dodatnich, po drugiej zaś – wszystkie punkty o współrzędnych ujemnych. Współrzędną możemy ogólnie określać np. symbolem `x`. Powiemy, że dla punktu będącego początkiem układu mamy `x = 0`.

Wyróżnijmy jeszcze jeden z punktów osi, i niech będzie to jeden z punktów o dodatniej współrzędnej. Umówmy się, że jego współrzędna równa jest 1. Zauważmy, że dwa wyróżnione punkty, o współrzędnych 0 i 1, wyznaczają nam bardzo szczególny wektor. Wektor ten, oznaczany często `vec(i)`, nazwiemy wersorem osi. Zwrot wersora `vec(i)` jest oczywiście taki sam, jak zwrot osi. Długość wersora to jednostka, którą można mierzyć odległości na prostej. Dlatego wersor zwiemy też wektorem jednostkowym.

Całą operację „przekształcenia” prostej w oś można wykonać prościej. Weźmy zatem naszą prostą, i umieśćmy na niej od razu wersor. W tym momencie automatycznie wyznaczamy początek układu współrzędnych oraz określamy zwrot osi. Mało to, umieszczenie na prostej wersora pozwoli wyznaczać położenie dowolnych innych punktów. Wersor staje się bowiem miarą odległości dowolnego punktu prostej od początku układu, a dodatkowo określa, czy aby dotrzeć od początku układu do danego punktu należy posuwać się zgodnie ze zwrotem osi czy też przeciwnie do tego zwrotu.

Aby znaleźć dowolny punkt na prostej, jeśli określiliśmy wersor osi, wystarczy jedynie podać (jedną) współrzędną tego punktu. Współrzędna ta jest liczbą rzeczywistą, określającą położenie punktu w sposób jednoznaczny. Wartość bezwzględna współrzędnej to odległość punktu od początku układu. Jeśli współrzędna jest dodatnia, wartość bezwzględna współrzędnej to po prostu ta współrzędna. Punkt leży wówczas na dodatniej części osi. Jeśli współrzędna jest równa zeru, wówczas badany punkt to początek układu współrzędnych (a wartość bezwzględna współrzędnej także jest równa współrzędnej). Jeśli współrzędna jest ujemna, to odległość punktu od początku układu (wartość bezwzględną współrzędnej) otrzymamy, opuszczając znak minus.

Na naszej osi możemy także znaleźć wektory zaczepione. Reprezentacją liczbową wektora zaczepionego będzie uporządkowana para liczb równych współrzędnym początku i końca wektora. Jeśli weźmiemy współrzędną końca i odejmiemy od niej współrzędną początku wektora, otrzymamy liczbę, którą nazwiemy współrzędną wektora. Współrzędna wektora (nie: współrzędna końca wektora!) wyznacza jego długość i zwrot, ale nie określa położenia. Zatem każdy inny wektor zaczepiony o takiej samej współrzędnej wektora będzie reprezentacją tego samego wektora swobodnego.

Podsumujmy: reprezentacją wektora zaczepionego na osi jest uporządkowana para liczb. Liczby te to współrzędne początku i końca wektora. Reprezentacją wektora swobodnego na osi jest pojedyncza liczba – współrzędna wektora. Współrzędna wektora to różnica współrzędnej końca i współrzędnej początku dowolnego wektora zaczepionego, który jest wystąpieniem wektora swobodnego. Nawiasem mówiąc, całkowicie przeczy to popularnej „definicji”, w myśl której wektor to jakoby uporządkowana para liczb…

Wyobrażenie wektora jako figury geometrycznej, odcinka z zaznaczonym zwrotem nazywamy syntetycznym przedstawieniem wektora. Analitycznym przedstawieniem wektora jest natomiast jego wspólrzędna.

Długość wektora zaczepionego na osi, określana też przez matematyków jako norma tego wektora, to wartość bezwzględna różnicy współrzędnych końca i początku tego wektora. Analogicznie norma wektora swobodnego to wartość bezwzględna współrzędnej tego wektora.

Zwróćmy uwagę, że nie można obliczać współrzędnych początka ani końca wektora swobodnego, bo są one nieokreślone. Przyjmijmy też, że pojęcie współrzędnej wektora odnosi się tylko do wektora swobodnego. Innymi słowy, jeśli mówimy o wektorze zaczepionym, podajemy współrzędne jego początku i końca. Jeśli natomiast mówimy o wektorze swobodnym, podajemy tylko współrzędną tego wektora. Obliczanie współrzędnej wektora (jako różnicy współrzędnych końca i początku) oznacza więc przejście od wektora zaczepionego do wektora swobodnego.

Rozważmy teraz przykład. Na prostej `k` wyznaczmy wersor, czyli wektor zaczepiony, który możemy przestawić sobie jako `[0 1]`. Niech `A` będzie punktem o współrzędnej `x = 3`. Piszemy czasem: `A = (3)`. Wyróżnijmy jeszcze punkty `B = (5)`, `K = (-1)` oraz `L = (1)`.

Na naszej prostej możemy znaleźć już cały szereg wektorów zaczepionych. Będziemy je oznaczać, podając początek i koniec, oraz ich współrzędne, np. `vec(AB) = [3 5]`. Bez trudu stwierdzimy, że `vec(KL) = [-1 1]`, `vec(LA) = [1 3]`, `vec(KB) = [-1 5]`, `vec(AL) = [3 1]` itd.

Obliczmy teraz współrzędną wektora `vec(AB)`. Wyniesie ona naturalnie `5 - 3 = 2`. Współrzędna wektora `vec(KL)` to `1 - (-1) = 2`, zatem tyle samo. Wszystkie wektory zaczepione o takiej współrzędnej to tylko różne wystąpienia tego samego wektora swobodnego, który oznaczymy `vec(u) = [2]`. Wektor zaczepiony `vec(LA)` ma też współrzędną o tej samej wartości, jest więc kolejnym wystąpieniem wektora `vec(u)`. Ale już wektory zaczepione `vec(KB)` oraz `vec(AL)` nie są wystąpieniami tego samego wektora swobodnego, ale całkiem innych wektorów. Jeśli `vec(AL)` jest wystąpieniem wektora swobodnego `vec(v)`, to wówczas `vec(v) = [1 - 3] = [-2]`. Współrzędne wektorów `vec(u)` i `vec(v)` różnią się więc tylko znakiem; takie wektory nazywamy przeciwnymi. Piszemy: `vec(v) = - vec(u)`, co jest chyba w pełni zgodne z intuicją.

Wektor na osi możemy także otrzymać, pomniejszając lub powiększając wersor `vec(i)`, czyli ogólniej, mnożąc wersor `vec(i)` przez pewną liczbę: `vec(u) = u * vec(i)`. Liczba ta to współrzędna wektora. Zwana jest także skalarem, bo służy do przeskalowania wektora (zmiany jego długości). Jeśli będzie to liczba dodatnia, otrzymany wektor będzie miał taki sam zwrot jak wersor `vec(i)`. Jeśli będzie to liczba ujemna, otrzymany wektor będzie miał zwrot przeciwny do zwrotu wersora. Jeśli będzie to zero, otrzymamy wektor zerowy, który nie ma zwrotu.

Normę wektora oznaczać będziemy tak samo jak wartość bezwzględną liczby czy długość odcinka (choć niektórzy wolą używać symbolu złożonego z dwóch pionowych kresek z każdej strony). W naszym przykładzie `|vec(AB)| = |5 - 3| = |2| = 2` i oczywiście także `|vec(u)| = |2| = 2`. Normy wektorów przeciwnych są takie same, gdyż np. `|vec(v)| = |-2| = 2`, a więc `|vec(v)| = |vec(u)|`.

Wektory w przestrzeni dwuwymiarowej

Najprostszym typem przestrzeni dwuwymiarowej jest płaszczyzna. Aby określać położenie punktów na płaszczyźnie, nanieśmy na nią typowy, znany ze szkoły, kartezjański układ współrzędnych prostokątnych (choć istnieje wiele innych metod wyrażania współrzędnych). W tym celu wybierzemy na płaszczyźnie pewną prostą, umieścimy na niej wersor `vec(i)`, tworząc z niej oś `X`, a następnie zaznaczymy prostą prostopadłą do tej osi, przechodzącą przez początek układu, również umieścmy na niej wersor `vec(j)` tak, by początek obu wektorów znajdował się w punkcie przecięcia obu prostych, i w końcu oznaczmy tę prostopadłą oś jako `Y`. Osie `X` i `Y` zwiemy osiami układu współrzędnych. Zauważmy, że możliwe są dwa zwroty osi `Y` przy ustalonym zwrocie osi `X`; wybór jednego z nich jest kwestią umowy. Zgodnie z tradycją, jeśli oś `X` biegnie w prawo, to oś `Y` biegnie w górę (a nie w dół).

Punkty i wektory na płaszczyźnie będą miały dwie współrzędne. Aby wyznaczyć położenie dowolnego punktu `P` płaszczyzny, wystarczy wektor zaczepiony w początku układu `O`, którego końcem jest badany punkt, a więc wektor `vec(OP)`. Taki wektor może być oczywiście skierowany pod dowolnym kątem względem osi układu współrzędnych.

Niech punkt `P` ma współrzędne `x, y`. Zapiszemy wówczas: `P = (x, y)`. Punkt O (miejsce przecięcia osi, początek układu) ma naturalnie współrzędne `O = (0; 0)`. Odpowiadający mu wektor swobodny `vec(u) = [x - 0; y - 0] = [x, y]`. Jak widać, wektor swobodny na płaszczyźnie reprezentowany jest przez uporządkowaną parę liczb, zwanych współrzędnymi tego wektora (przypomnijmy, że wektor swobodny na osi reprezentowany jest przez jedną liczbę). Zamiast `vec(u) = [x, y]` piszemy także `vec(u) = [u_x, u_y]`. Takie indeksowane oznaczenia wiążą daną wartość od razu z konkretnym wektorem.

Możemy teraz nasz wektor zaczepiony `vec(OP)` zrzutować prostokątnie na każdą z osi, otrzymując wektory składowe `vec(OP_x)` i `vec(OP_y)`. Współrzędne rzutów punktu `P` na osie: `P_x = (x, 0)` oraz `P_y = (0, y)`. Zauważmy, że punkty `O P_x P P_y` wyznaczają prostokąt. Odcinek `bar(OP)` jest jedną z przekątnych tego prostokąta, odcinki `bar(OP_x)` i `bar(OP_y)` są bokami prostokąta.

Normę (długość) wektora `vec(OP)` obliczymy łatwo, korzystając z przedstawionego rozkładu na składowe. Trójkąt `O P_x P` jest bowiem prostokątny, bok `bar(OP_x)` ma długość `x`, a bok `bar(P_x P)` ma długość `y`. Na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy więc `|vec(OP)| = sqrt(x^2 + y^2)`.

Zauważmy, że wzór podany wyżej dla wektorów na osi jest w pełni analogiczny, bowiem `|u| = sqrt(u^2)`. Przy dwóch współrzędnych tak daleko idącego uproszczenia zrobić się nie da.

Mówimy, że wektor `vec(OP)` jest sumą obu wektorów składowych: `vec(OP) = vec(OP_x) + vec(OP_y)`. Ponieważ wektory składowe możemy przestawić jako iloczyny wersorów osi przez liczby `x` i `y`, które możemy też oznaczyć `u_x` i `u_y`, możemy także napisać `vec(u) = u_x * vec(i) + u_y * vec(j)`.

W analogiczny sposób sumujemy i inne wektory, tworzące między sobą dowolny kąt (rysunek niżej po lewej). Oba sumowane wektory zaczepiamy w tym samym punkcie (tutaj jest to punkt `O`) i budujemy na tych wektorach równoległobok. Wektor będący sumą dwóch wektorów wyznacza przekątną tego równoległoboku i ma wspólny początek z oboma wektorami, które dodajemy.

`vec(OA) + vec(OB) = vec(OC)` `vec(AB) + vec(BC) = vec(AC)`

Możemy też sumować wektory inaczej (rysunek wyżej po prawej). Jeżeli drugi wektor zaczepimy nie w początku, ale w końcu pierwszego wektora, wówczas wektor będący sumą będzie mieć początek w początku pierwszego wektora, i koniec w końcu drugiego wektora. Innymi słowy, jeśli dwa dodawane wektory zawrzemy w dwóch bokach trójkąta, to suma zawarta będzie w trzecim jego boku.

Przedstawione wyżej sposoby oparte na figurach geometrycznych nazywamy sumowaniem syntetycznym; możemy też sumować wektory analitycznie, korzystając ze znajomości ich współrzędnych. Okazuje się, że aby uzyskać sumę wektorów, wystarczy dodać do siebie odpowiednie współrzędne (nie mieszając ich ze sobą). A więc na przykład jeśli `vec(u) = [1; -7]` oraz `vec(v) = [-3; 8]`, to wówczas suma `vec(u) + vec(v) = [1 - 3; -7 + 8] = [-2; 1]`.

Dwa wektory (swobodne) są równe, jeśli mają takie same: długość (normę), kierunek i zwrot. Stwierdzenie to odnosi się do geometrii syntetycznej. W geometrii analitycznej powiemy bowiem, że wektory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe odpowiednie współrzędne.

Wektor przeciwny znajdujemy syntetycznie, zmieniając zwrot wektora pierwotnego, a pozostawiając tę samą długość i kierunek. Analitycznie natomiast zmieniamy każdą ze współrzędnych na liczbę do niej przeciwną. Np. jeśli `vec(u) = [1; -7]` oraz `vec(v) = [-3; 8]`, to wówczas `- vec(u) = [-1; 7]` oraz `- vec(v) = [3; -8]`. Całkowicie zgodne ze zdobytą już intuicją jest analityczne odejmowanie wektorów, np. `vec(u) - vec(v) = [1 + 3; -7 - 8] = [4; -15]`. Możemy też oczywiście policzyć `vec(v) - vec(u) = [-3 - 1; 8 + 7] = [-4; 15]`.

wektory przeciwne `vec(w)` i `- vec(w)`

Syntetycznie różnica wektorów może zostać wyznaczona przez dodanie wektora przeciwnego (niżej po lewej). Jeśli na odejmowanych wektorach zbudujemy równoległobok, to wektor będący różnicą utworzy przekątną równoległoboku, inną niż tę, która jest utworzona przez wektor będący sumą (niżej po prawej). Początek tego wektora to koniec wektora odejmowanego, koniec tego wektora to koniec wektora, od którego odejmujemy.

`vec(OA) - vec(AB) = vec(OB′)`
`vec(AB′)` jest przeciwny do `vec(AB)`
`vec(OA) - vec(OB) = vec(BA)`
`vec(OO′)` jest sumą `vec(OA) + vec(OB)`

O ile dodawanie i odejmowanie wektorów jest proste, o tyle mnożenie sprawia kłopoty. Iloczyn wektora przez liczbę (przez skalar) jest wektorem. Obliczamy go, mnożąc przez tę liczbę każdą ze współrzędnych wektora: `k * vec(u) = [k * u_x, k * u_y]`.

Mnożenie wektora przez wektor można zdefiniować tak, by wynikiem była liczba (skalar) – takie działanie nazywa się iloczynem skalarnym (nie wolno mieszać iloczynu skalarnego z mnożeniem wektora przez skalar) i oznacza `vec(u) @ vec(v)`, `vec(u) * vec(v)` lub po prostu `vec(u) vec(v)` (w polskiej literaturze przeważa użycie znaku „`@`”, co należy uznać za całkowicie słuszne – przecież iloczyn skalarny nie jest zwykłym mnożeniem). Iloczyn skalarny obliczamy analitycznie, mnożąc osobno każdą ze współrzędnych i dodając wyniki mnożenia: `vec(u) @ vec(v) = u_x * v_x + u_y * v_y`. Syntetycznie iloczyn skalarny to iloczyn norm mnożonych wektorów przez kosinus kąta między nimi: `vec(u) @ vec(v) = |vec(u)| * |vec(v)| * cos(vec(u),vec(v))`. Wzór ten służy po przekształceniu do obliczania kąta między wektorami.

Wektory w przestrzeni trójwymiarowej

W przestrzeni trójwymiarowej potrzebować będziemy 3 osi: `X`, `Y`, `Z`, a punkty i wektory swobodne będą miały trzy współrzędne. Wszystkie powyższe rozważania zachowują moc, należy jedynie pamiętać, że każde działanie będzie bardziej skomplikowane wskutek obecności dodatkowej współrzędnej. W szczególności, normę (długość) wektora w przestrzeni obliczymy, korzystając z rozszerzonej wersji twierdzenia Pitagorasa. Mówi ono, że jeśli `a, b, c` są różnymi krawędziami prostopadłościanu, a `d` jest jego przekątną, to zachodzi związek `a^2 + b^2 + c^2 = d^2`. Stąd właśnie wzór na normę wektora w przestrzeni: `|vec(u)| = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)`, gdzie `x, y, z` oznaczają współrzędne tego wektora: `vec(u) = [x, y, z]`.

Dla wektorów w przestrzeni trójwymiarowej (ale nie dla wektorów na osi lub na płaszczyźnie) definiuje się iloczyn wektorowy: `vec(w) = vec(u) xx vec(v) = [u_y * v_z - u_z * v_x, u_z * v_x - u_x * v_z, u_x * v_y - u_y * v_x]`. Norma wektora `vec(w)` jest równa wartości bezwzględnej wyznacznika pary wektorów: `|vec(w)| = |d(vec(u),vec(v))| = |vec(u)| * |vec(v)| * |sin(vec(u),vec(v))|`. Kąt między wektorem `vec(w)` a każdym z wektorów `vec(u)` oraz `vec(v)` jest prosty. Iloczynem wektorowym pary wektorów jest więc wektor prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez te dwa wektory.

Zestawienie tabelaryczne

Niech `vec(u)` będzie wektorem swobodnym, a `vec(AB)` wektorem zaczepionym będącym jednym z jego wystąpień.

  na osi na płaszczyźnie w przestrzeni
współrzędne wektora
zaczepionego
`vec(AB) = [x_A x_B]` `vec(AB) = [(x_A, x_B), (y_A, y_B)]` `vec(AB) = [(x_A, x_B), (y_A, y_B), (z_A, z_B)]`
współrzędne wektora
swobodnego
`vec(u) = [u] = [x_B - x_A]` `vec(u) = [u_x, u_y] = [x_B - x_A, y_B - y_A]` `vec(u) = [u_x, u_y, u_z] = [x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A]`
składowe wektora `vec(u) = u * vec(i)` `vec(u) = u_x * vec(i) + u_y * vec(j)` `vec(u) = u_x * vec(i) + u_y * vec(j) + u_z * vec(k)`
norma wektora `|vec(u)| = sqrt(u_1^2 + u_2^2 + … + u_n^2)`
`|vec(u)| = |u|`
`|vec(u)| = |x_B - x_A|`
`|vec(u)| = sqrt(u_x^2 + u_y^2)`
`|vec(u)| = sqrt((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2)`
`|vec(u)| = sqrt(u_x^2 + u_y^2 + u_z^2)`
`|vec(u)| = sqrt((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2)`
wektory równe `vec(u) = vec(v) ⇔ u = v` `vec(u) = vec(v) ⇔ u_x = v_x ^^ u_y = v_y` `vec(u) = vec(v) ⇔ u_x = v_x ^^ u_y = v_y ^^ u_z = v_z`
wektory przeciwne `vec(u) = - vec(v) ⇔ u = - v` `vec(u) = - vec(v) ⇔ u_x = - v_x ^^ u_y = - v_y` `vec(u) = - vec(v) ⇔ u_x = - v_x ^^ u_y = - v_y ^^ u_z = - v_z`
suma wektorów `vec(u) + vec(v) = [u + v]` `vec(u) + vec(v) = [u_x + v_x, u_y + v_y]` `vec(u) + vec(v) = [u_x + v_x, u_y + v_y, u_z + v_z]`
różnica wektorów `vec(u) - vec(v) = [u - v]` `vec(u) - vec(v) = [u_x - v_x, u_y - v_y]` `vec(u) - vec(v) = [u_x - v_x, u_y - v_y, u_z - v_z]`
iloczyn wektora przez liczbę `k * vec(u) = [k * u]` `k * vec(u) = [k * u_x, k * u_y]` `k * vec(u) = [k * u_x, k * u_y, k * u_z]`
iloczyn skalarny `vec(u) @ vec(v) = |vec(u)| * |vec(v)| * cos(vec(u),vec(v))`
`vec(u) @ vec(v) = u * v` `vec(u) @ vec(v) = u_x * v_x + u_y * v_y` `vec(u) @ vec(v) = u_x * v_x + u_y * v_y + u_z * v_z`
wyznacznik pary wektorów `d(vec(u),vec(v)) = |vec(u)| * |vec(v)| * sin(vec(u),vec(v))`
`d(vec(u),vec(v)) = 0` `d(vec(u),vec(v)) = u_x * v_y - u_y * v_x` `d(vec(u),vec(v)) = u_x * v_y + u_y * v_z + u_z * v_x - u_x * v_z - u_y * v_x - u_z * v_y`
kąt między wektorami `cos(vec(u),vec(v)) = (vec(u) @ vec(v))/(|vec(u)| * |vec(v)|)`
`cos(vec(u),vec(v)) = (u * v)/(|u| * |v|)` `cos(vec(u),vec(v)) = (u_x * v_x + u_y * v_y)/(sqrt(u_x^2 + u_y^2) * sqrt(v_x^2 + v_y^2))` `cos(vec(u),vec(v)) = (u_x * v_x + u_y * v_y + u_z * v_z)/(sqrt(u_x^2 + u_y^2 + u_z^2) * sqrt(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2))`
`sin(vec(u),vec(v)) = (d(vec(u),vec(v)))/(|vec(u)| * |vec(v)|)`
`sin(vec(u),vec(v)) = 0` `sin(vec(u),vec(v)) = (u_x * v_y - u_y * v_x)/(sqrt(u_x^2 + u_y^2) * sqrt(v_x^2 + v_y^2))` `sin(vec(u),vec(v)) = (u_x * v_y + u_y * v_z + u_z * v_x - u_x * v_z - u_y * v_x - u_z * v_y)/(sqrt(u_x^2 + u_y^2 + u_z^2) * sqrt(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2))`
iloczyn wektorowy `vec(u) xx vec(v) = [u_y * v_z - u_z * v_x, u_z * v_x - u_x * v_z, u_x * v_y - u_y * v_x]`
`|vec(u) xx vec(v)| = |vec(u)| * |vec(v)| * |sin(vec(u),vec(v))|`
wektory prostopadłe `vec(u) @ vec(v) = 0`
`u * v = 0` `u_x * v_x + u_y * v_y = 0` `u_x * v_x + u_y * v_y + u_z * v_z = 0`
wektory równoległe `d(vec(u),vec(v)) = 0`
`u_x * v_y - u_y * v_x = 0` `u_x * v_y + u_y * v_z + u_z * v_x - u_x * v_z - u_y * v_x - u_z * v_y = 0`
       

Właściwości działań na wektorach

Dodawanie wektorów jest przemienne i łączne, tak samo jak dodawanie liczb.

https://sites.google.com/site/obliczeniowo/ma/wektory

https://pl.wikipedia.org/wiki/Iloczyn_skalarny

https://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product

https://pl.wikipedia.org/wiki/Iloczyn_wektorowy

https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product

https://pl.wikipedia.org/wiki/Macierz_Grama

http://www.maturzysta.info/pdf_portal/poletrojkata_wxoyx.pdf