Wersja z 2015-09-12

Grzegorz Jagodziński

Ułamki egipskie

1 2 3 4 5 6

Dodawanie i odejmowanie ułamków egipskich

Sumy zebrano w prawej górnej części tabeli, różnice w lewej dolnej części.

`-`\`+` `1/2` `1/3` `1/4` `1/5` `1/6` `1/7` `1/8` `1/9` `1/10` `1/11` `1/12`
`1/2` `5/6` `3/4` `7/10` `2/3` `9/14` `5/8` `11/18` `3/5` `13/22` `7/12`
`1/3` `1/6` `7/12` `8/15` `1/2` `10/21` `11/24` `4/9` `13/30` `14/33` `5/12`
`1/4` `1/4` `1/12` `9/20` `5/12` `11/28` `3/8` `13/36` `7/20` `15/44` `1/3`
`1/5` `3/10` `2/15` `1/20` `11/30` `12/35` `13/40` `14/45` `3/10` `16/55` `17/60`
`1/6` `1/3` `1/6` `1/12` `1/30` `13/42` `7/24` `5/18` `4/15` `17/66` `1/4`
`1/7` `5/14` `4/21` `3/28` `2/35` `1/42` `15/56` `16/63` `17/70` `18/77` `19/84`
`1/8` `3/8` `5/24` `1/8` `3/40` `1/24` `1/56` `17/72` `9/40` `19/88` `5/24`
`1/9` `7/18` `2/9` `5/36` `4/45` `1/18` `2/63` `1/72` `19/90` `20/99` `7/36`
`1/10` `2/5` `7/30` `3/20` `1/10` `1/15` `3/70` `1/40` `1/90` `21/110` `11/60`
`1/11` `9/22` `8/33` `7/44` `6/55` `5/66` `4/77` `3/88` `2/99` `1/110` `23/132`
`1/12` `5/12` `1/4` `1/6` `7/60` `1/12` `5/84` `1/24` `1/36` `1/60` `1/132`

Tabela zbiorcza rozkładu zwyczajnego wybranych ułamków

Tabela zawiera wszystkie rozkłady zwyczajne ułamków właściwych o mianownikach 2 – 12, a także ich sum. Obejmuje też inne ułamki badane tu jako przykłady, również te, które rozkładane były jako reszty.

Zauważmy, że rozkład danego ułamka na 3 ułamki egipskie oznacza, że po założeniu wartości `a` badamy dwuskładnikowe rozkłady ułamka będącego różnicą. W istocie więc otrzymujemy przy okazji (dwuskładnikowe) rozkłady zwyczajne całkiem innego ułamka (o ile istnieją). Podobnie przy badaniu ułamków rozkładających się na cztery czynniki badamy także rozkład otrzymywanych po drodze różnic. Problem pojawia się jedynie przy ograniczeniach dotyczących mianownika – zakładamy bowiem, że w każdym kolejnym składniku rozkładu ma być on większy. Przed wypełnieniem tabeli zbadano także i te pominięte wartości.

mianownik `2`
`1/2` egipski
mianownik `3`
`1/3` egipski
`2/3` `1/2 + 1/6`
mianownik `4`
`1/4` egipski
`2/4` egipski (`= 1/2`)
`3/4` `1/2 + 1/4`
mianownik `5`
`1/5` egipski
`2/5` `1/3 + 1/15`
`3/5` `1/2 + 1/10`
`4/5` `1/2 + 1/5 + 1/10`, `1/2 + 1/4 + 1/20`
mianownik `6`
`1/6` egipski
`2/6` egipski (`= 1/3`)
`3/6` egipski (`= 1/2`)
`4/6` (`= 2/3`)
`5/6` `1/2 + 1/3`
mianownik `7`
`1/7` egipski
`2/7` `1/4 + 1/28`
`3/7` `1/4 + 1/7 + 1/28`, `1/4 + 1/6 + 1/84`
`4/7` `1/2 + 1/14`
`5/7` `1/2 + 1/7 + 1/14`, `1/2 + 1/6 + 1/21`, `1/2 + 1/5 + 1/70`
`6/7` `1/2 + 1/3 + 1/42`
mianownik `8`
`1/8` egipski
`2/8` egipski (`= 1/4`)
`3/8` `1/4 + 1/8`, `1/3 + 1/24`
`4/8` egipski (`= 1/2`)
`5/8` `1/2 + 1/8`
`6/8` (`= 3/4`)
`7/8` `1/2 + 1/4 + 1/8`, `1/2 + 1/3 + 1/24`
mianownik `9`
`1/9` egipski
`2/9` `1/6 + 1/18`, `1/5 + 1/45`
`3/9` egipski (`= 1/3`)
`4/9` `1/3 + 1/9`
`5/9` `1/2 + 1/18`
`6/9` (`= 2/3`)
`7/9` `1/2 + 1/6 + 1/9`, `1/2 + 1/4 + 1/36`
`8/9` `1/2 + 1/3 + 1/18`
mianownik `10`
`1/10` egipski
`2/10` egipski (`= 1/5`)
`3/10` `1/5 + 1/10`, `1/4 + 1/20`
`4/10` (`= 2/5`)
`5/10` egipski (`= 1/2`)
`6/10` (`= 3/5`)
`7/10` `1/2 + 1/5`
`8/10` (`= 4/5`)
`9/10` `1/2 + 1/3 + 1/15`
mianownik `11`
`1/11` egipski
`2/11` `1/6 + 1/66`
`3/11` `1/4 + 1/44`
`4/11` `1/3 + 1/33`
`5/11` `1/4 + 1/5 + 1/220`, `1/3 + 1/11 + 1/33`, `1/3 + 1/9 + 1/99`
`6/11` `1/2 + 1/22`
`7/11` `1/2 + 1/11 + 1/22`, `1/2 + 1/8 + 1/88`
`8/11` `1/3 + 1/4 + 1/7 + 1/924`, `1/2 + 1/8 + 1/11 + 1/88`, `1/2 + 1/8 + 1/10 + 1/440`, `1/2 + 1/7 + 1/14 + 1/77`, `1/2 + 1/7 + 1/12 + 1/924`, `1/2 + 1/6 + 1/22 + 1/66`, `1/2 + 1/6 + 1/21 + 1/77`, `1/2 + 1/6 + 1/18 + 1/198`,
`1/2 + 1/6 + 1/17 + 1/561`, `1/2 + 1/5 + 1/70 + 1/77`, `1/2 + 1/5 + 1/55 + 1/110`, `1/2 + 1/5 + 1/45 + 1/198`, `1/2 + 1/5 + 1/44 + 1/220`, `1/2 + 1/5 + 1/40 + 1/440`, `1/2 + 1/5 + 1/38 + 1/1045`, `1/2 + 1/5 + 1/37 + 1/4070`
`9/11` `1/2 + 1/5 + 1/10 + 1/55`, `1/2 + 1/4 + 1/22 + 1/44`, `1/2 + 1/4 + 1/20 + 1/55`, `1/2 + 1/4 + 1/16 + 1/176`, `1/2 + 1/4 + 1/15 + 1/660`
`10/11` `1/2 + 1/3 + 1/22 + 1/33`, `1/2 + 1/3 + 1/15 + 1/110`, `1/2 + 1/3 + 1/14 + 1/231`
mianownik `12`
`1/12` egipski
`2/12` egipski (`= 1/6`)
`3/12` egipski (`= 1/4`)
`4/12` egipski (`= 1/3`)
`5/12` `1/4 + 1/6`, `1/3 + 1/12`
`6/12` egipski (`= 1/2`)
`7/12` `1/3 + 1/4`, `1/2 + 1/12`
`8/12` (`= 2/3`)
`9/12` (`= 3/4`)
`10/12` (`= 5/6`)
`11/12` `1/2 + 1/4 + 1/6`, `1/2 + 1/3 + 1/12`
inne ułamki
`3/14` `1/7 + 1/14`, `1/6 + 1/21`, `1/5 + 1/70`
`5/14` `1/3 + 1/42`
`9/14` `1/2 + 1/7`
`2/15` `1/12 + 1/20`, `1/10 + 1/30`, `1/9 + 1/45`, `1/8 + 1/120`
`4/15` `1/6 + 1/10`, `1/5 + 1/15`, `1/4 + 1/60`
`7/15` `1/5 + 1/6 + 1/10`, `1/4 + 1/6 + 1/20`, `1/4 + 1/5 + 1/60`, `1/3 + 1/12 + 1/20`, `1/3 + 1/10 + 1/30`, `1/3 + 1/9 + 1/45`, `1/3 + 1/8 + 1/120`
`8/15` `1/3 + 1/5`, `1/2 + 1/30`
`5/18` `1/6 + 1/9`, `1/4 + 1/36`
`7/18` `1/3 + 1/18`
`11/18` `1/2 + 1/9`
`3/20` `1/12 + 1/15`, `1/10 + 1/20`, `1/8 + 1/40`, `1/7 + 1/140`
`7/20` `1/4 + 1/10`, `1/3 + 1/60`
`9/20` `1/4 + 1/5`
`19/20` `1/2 + 1/4 + 1/5`
`2/21` `1/15 + 1/35`, `1/14 + 1/42`, `1/12 + 1/84`, `1/11 + 1/231`
`4/21` `1/7 + 1/21`, `1/6 + 1/42`
`5/21` `1/6 + 1/14`
`8/21` `1/3 + 1/21`
`10/21` `1/3 + 1/7`
`11/21` `1/2 + 1/42`
`3/22` `1/11 + 1/22`, `1/8 + 1/88`
`5/22` `1/8 + 1/11 + 1/88`, `1/8 + 1/10 + 1/440`, `1/7 + 1/14 + 1/77`, `1/7 + 1/12 + 1/924`, `1/6 + 1/18 + 1/198`, `1/6 + 1/17 + 1/561`, `1/6 + 1/21 + 1/77`, `1/6 + 1/22 + 1/66`,
`1/5 + 1/37 + 1/4070`, `1/5 + 1/38 + 1/1045`, `1/5 + 1/44 + 1/220`, `1/5 + 1/45 + 1/198`, `1/5 + 1/55 + 1/110`, `1/5 + 1/70 + 1/77`
`7/22` `1/5 + 1/10 + 1/55`, `1/4 + 1/22 + 1/44`, `1/4 + 1/20 + 1/55`, `1/4 + 1/16 + 1/176`, `1/4 + 1/15 + 1/660`
`9/22` `1/3 + 1/22 + 1/33`, `1/3 + 1/15 + 1/110`, `1/3 + 1/14 + 1/231`
`13/22` `1/2 + 1/11`
`5/24` `1/8 + 1/12`, `1/6 + 1/24`, `1/5 + 1/120`
`7/24` `1/6 + 1/8`, `1/4 + 1/24`
`11/24` `1/3 + 1/8`
`13/24` `1/2 + 1/24`
`3/28` `1/14 + 1/28`, `1/12 + 1/42`, `1/10 + 1/140`
`5/28` `1/7 + 1/28`, `1/6 + 1/84`
`11/28` `1/4 + 1/7`
`13/28` `1/4 + 1/7 + 1/14`, `1/4 + 1/6 + 1/21`, `1/4 + 1/5 + 1/70`
`7/30` `1/6 + 1/15`, `1/5 + 1/30`
`11/30` `1/5 + 1/6`, `1/3 + 1/30`
`13/30` `1/3 + 1/10`
`17/30` `1/2 + 1/15`
`4/33` `1/11 + 1/33`, `1/9 + 1/99`
`7/33` `1/6 + 1/22`
`8/33` `1/6 + 1/22 + 1/33`, `1/6 + 1/15 + 1/110`, `1/6 + 1/14 + 1/231`, `1/5 + 1/30 + 1/110`, `1/5 + 1/24 + 1/1320`
`10/33` `1/6 + 1/11 + 1/22`, `1/6 + 1/8 + 1/88`, `1/5 + 1/10 + 1/330`, `1/4 + 1/33 + 1/44`, `1/4 + 1/24 + 1/88`, `1/4 + 1/22 + 1/132`, `1/4 + 1/20 + 1/330`, `1/4 + 1/19 + 1/2508`
`13/33` `1/4 + 1/7 + 1/924`, `1/3 + 1/22 + 1/66`, `1/3 + 1/21 + 1/77`, `1/3 + 1/18 + 1/198`, `1/3 + 1/17 + 1/561`
`14/33` `1/3 + 1/11`
`16/33` `1/5 + 1/6 + 1/10 + 1/55`, `1/4 + 1/7 + 1/11 + 1/924`, `1/4 + 1/6 + 1/22 + 1/44`, `1/4 + 1/6 + 1/20 + 1/55`, `1/4 + 1/6 + 1/16 + 1/176`, `1/4 + 1/6 + 1/15 + 1/660`, `1/4 + 1/5 + 1/55 + 1/60`, `1/4 + 1/5 + 1/33 + 1/220`,
`1/4 + 1/5 + 1/30 + 1/660`, `1/3 + 1/12 + 1/22 + 1/44`, `1/3 + 1/12 + 1/20 + 1/55`, `1/3 + 1/12 + 1/16 + 1/176`, `1/3 + 1/12 + 1/15 + 1/660`, `1/3 + 1/11 + 1/22 + 1/66`, `1/3 + 1/11 + 1/21 + 1/77`, `1/3 + 1/11 + 1/18 + 1/198`,
`1/3 + 1/11 + 1/17 + 1/561`, `1/3 + 1/10 + 1/30 + 1/55`, `1/3 + 1/10 + 1/22 + 1/165`, `1/3 + 1/10 + 1/20 + 1/660`, `1/3 + 1/9 + 1/45 + 1/55`, `1/3 + 1/9 + 1/33 + 1/99`, `1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/297`, `1/3 + 1/9 + 1/25 + 1/2475`
`19/33` `1/2 + 1/22 + 1/33`, `1/2 + 1/15 + 1/110`, `1/2 + 1/14 + 1/231`
`2/35` `1/30 + 1/42`, `1/21 + 1/105`, `1/20 + 1/140`, `1/18 + 1/630`
`3/35` `1/20 + 1/28`, `1/14 + 1/70`, `1/12 + 1/420`
`8/35` `1/5 + 1/35`
`12/35` `1/5 + 1/7`, `1/3 + 1/105`
`5/36` `1/12 + 1/18` `1/9 + 1/36` `1/8 + 1/72`
`7/36` `1/9 + 1/12`, `1/6 + 1/36`
`13/36` `1/4 + 1/9`, `1/3 + 1/36`
`3/40` `1/24 + 1/30`, `1/20 + 1/40`, `1/16 + 1/80`, `1/15 + 1/120`, `1/14 + 1/280`
`7/40` `1/8 + 1/20`, `1/6 + 1/120`
`9/40` `1/8 + 1/10`, `1/5 + 1/40`
`13/40` `1/5 + 1/8`
`5/42` `1/14 + 1/21`, `1/12 + 1/28`, `1/9 + 1/126`
`11/42` `1/4 + 1/84`
`13/42` `1/6 + 1/7`
`41/42` `1/2 + 1/3 + 1/7`
`5/44` `1/12 + 1/33`, `1/11 + 1/44`, `1/9 + 1/396`
`7/44` `1/12 + 1/22 + 1/33`, `1/12 + 1/15 + 1/110`, `1/12 + 1/14 + 1/231`, `1/11 + 1/22 + 1/44`, `1/11 + 1/20 + 1/55`, `1/11 + 1/16 + 1/176`, `1/11 + 1/15 + 1/660`, `1/10 + 1/20 + 1/110`,
`1/10 + 1/17 + 1/3740`, `1/9 + 1/22 + 1/396`, `1/9 + 1/21 + 1/2772`, `1/8 + 1/44 + 1/88`, `1/8 + 1/40 + 1/110`, `1/8 + 1/33 + 1/264`, `1/8 + 1/32 + 1/352`, `1/8 + 1/30 + 1/1320`,
`1/7 + 1/110 + 1/140`, `1/7 + 1/84 + 1/231`, `1/7 + 1/77 + 1/308`, `1/7 + 1/66 + 1/924`, `1/7 + 1/63 + 1/2772`, `1/7 + 1/62 + 1/9548`
`9/44` `1/5 + 1/220`
`15/44` `1/4 + 1/11`, `1/3 + 1/132`
`17/44` `1/3 + 1/33 + 1/44`, `1/3 + 1/24 + 1/88`, `1/3 + 1/22 + 1/132`, `1/3 + 1/20 + 1/330`, `1/3 + 1/19 + 1/2508`, `1/4 + 1/11 + 1/22`, `1/4 + 1/8 + 1/88`
`21/44` `1/3 + 1/7 + 1/924`
`4/45` `1/18 + 1/30`, `1/15 + 1/45`, `1/12 + 1/180`
`14/45` `1/5 + 1/9`
`4/55` `1/20 + 1/45`, `1/15 + 1/165`, `1/14 + 1/770`
`6/55`  
`9/55`  
`14/55` `1/4 + 1/220`
`16/55` `1/5 + 1/11`
`15/56` `1/7 + 1/8`, `1/4 + 1/56`
`7/60`    
`11/60` `1/10 + 1/12`, `1/6 + 1/60`
`17/60` `1/5 + 1/12`, `1/4 + 1/30`
`37/60` `1/4 + 1/5 + 1/6`, `1/3 + 1/5 + 1/12`, `1/3 + 1/4 + 1/30`, `1/2 + 1/15 + 1/20`, `1/2 + 1/12 + 1/30`, `1/2 + 1/10 + 1/60`, `1/2 + 1/9 + 1/180`
`47/60` `1/3 + 1/4 + 1/5`, `1/2 + 1/5 + 1/12`, `1/2 + 1/4 + 1/30`
`2/63`  
`5/63`  
`16/63` `1/7 + 1/9`, `1/4 + 1/252`
`5/66`  
`7/66`  
`17/66` `1/6 + 1/11`, `1/4 + 1/132`
`19/66`  
`3/70`  
`17/70` `1/7 + 1/10`
`7/72`  
`17/72` `1/8 + 1/9`
`3/77`  
`4/77`  
`10/77`  
`18/77` `1/7 + 1/11`
`5/84`  
`19/84` `1/7 + 1/12`
`3/88`  
`5/88`  
`19/88` `1/8 + 1/11`
`19/90` `1/9 + 1/10`, `1/5 + 1/90`
`2/99`  
`7/99`  
`20/99` `1/9 + 1/11`, `1/5 + 1/495`
`9/110` `1/15 + 1/66`
`21/110` `1/10 + 1/11`
`23/132` `1/11 + 1/12` `1/6 + 1/132`  
`3/179` `1/60 + 1/10740`