Artykuł został opublikowany także na witrynie eioba.
Wersja z 2012-11-18

Związki logiczne

1

Podstawowe związki logiczne

Zdanie w logice oznacza stwierdzenie, że jest tak a tak, bądź że nie jest tak a tak. Zdanie w sensie logicznym to zawsze tylko zdanie oznajmujące, którym można przypisać wartość logiczną prawdy lub fałszu. Weźmy jako przykład dwa zdania:

p = Kowalski jest lekarzem

q = Malinowski jest lekarzem

Zdania mogą być połączone spójnikami i mogą dzięki temu tworzyć związki logiczne. Warto sięgnąć do dobrych podręczników logiki po szczegóły (np. Kraszewski Z., Logika, PWN, Warszawa 1984, albo Ziembiński Z., Logika praktyczna, PWN, Warszawa 1994). Poniżej przedstawiono listę tych związków.

Koniunkcja p i q

Oznaczenie: p q

Przykład: Kowalski jest lekarzem i Malinowski jest lekarzem.

Objaśnienie: Prawda, jeśli obaj są lekarzami. Fałsz, gdy choć jeden z nich nie jest lekarzem.

Koniunkcja jest więc prawdziwa tylko wtedy, gdy oba jej człony są (jednocześnie) prawdziwe. Na określenie koniunkcji używa się także terminów współprawdziwość lub iloczyn logiczny. W języku naturalnym oprócz spójnika i często koniunkcję wyrażają także a, oraz, lecz, ale, chociaż, mimo że, zaś. Spójniki te nie są w pełni zamienne, gdyż język naturalny wyraża nie tylko związki prawdziwościowe, ale i treściowe (które logika nie interesują). W informatyce i elektronice koniunkcję wyraża spójnik And. Niekiedy koniunkcję oznacza się p · q.

Binegacja ani p, ani q

Oznaczenie: p ↓ q

Przykład: Ani Kowalski nie jest lekarzem, ani Malinowski nie jest lekarzem.

Objaśnienie: Prawda, jeśli żaden z nich nie jest lekarzem. Fałsz, gdy choć jeden z nich jest lekarzem.

Binegacja jest koniunkcją negacji. Współczesny język polski wymaga tu zmiany formy czasownika na przeczącą, wyrażenia z formą twierdzącą czasownika są dziś wyraźnie przestarzałe (jak cytowane w WSPP zdanie ani chcę, ani umiem odejść od ciebie). W analizie logicznej nie wolno zapominać, że partykuła nie nie jest częścią zdania składowego. Jeśli więc p = Kowalski jest lekarzem, a q = Malinowski jest lekarzem, wówczas p ↓ q = ani Kowalski nie jest lekarzem, ani Malinowski nie jest lekarzem. Czasami występują inne konstrukcje, jak nie… ani…, np. nie umiał śpiewać ani tańczyć (błędne byłoby nie… i…, np. ! nie umiał śpiewać i tańczyć), albo nie… ale też nie…, np. nie był dziś zbyt wesoły, ale też się nie smucił. Na określenie binegacji używa się także terminów współfałszywość lub negacja łączna. W informatyce i elektronice binegację wyraża spójnik Nor. Niekiedy binegację oznacza się p q.

Uwaga: systemy logiczne często nie rozpatrują binegacji jako odrębnego związku i zastępują ją negacją alternatywy.

Alternatywa p lub q

Oznaczenie: p q

Przykład: Kowalski jest lekarzem lub Malinowski jest lekarzem.

Objaśnienie: Prawda, jeśli jeden z nich jest lekarzem lub obaj są lekarzami. Fałsz, gdy żaden nie jest lekarzem.

W języku naturalnym spójnik lub nie zawsze oznacza rzeczywiście alternatywę. Mówiący czasem chcą tylko zwrócić uwagę, że prawdziwe może być albo zdanie p, albo zdanie q, i nie chcą lub nie mogą wykluczyć prawdziwości obu tych zdań jednocześnie. Dla uniknięcia niejednoznaczności należałoby więc powiedzieć na przykład lekarzem jest Kowalski, Malinowski lub obaj. Zwyczaj pisania lub/i, jak np. lekarzem jest Malinowski lub/i Kowalski nie jest natomiast godny polecenia: po pierwsze jest to wyraz niewolniczego naśladowania tradycji obcej (angielskiej), po drugie zdania takiego nie da się przecież przeczytać. Dla odróżnienia od następnych związków logicznych alternatywę nazywa się także alternatywą zwykłą, niewyłączającą, niewykluczającą lub nierozłączną. Używa się także terminów niewspółfałszywość, podprzeciwieństwo logiczne lub suma logiczna. W informatyce i elektronice alternatywę wyraża spójnik Or. Niekiedy alternatywę oznacza się p + q.

Dysjunkcja p bądź q

Oznaczenie: p | q

Przykład: Kowalski jest lekarzem bądź Malinowski jest lekarzem.

Objaśnienie: Prawda, gdy najwyżej jeden z nich jest lekarzem, to znaczy albo Kowalski, albo Malinowski, albo żaden z nich. Fałsz, gdy obaj są lekarzami

Odróżnienie dysjunkcji (zwanej też czasem dysjunkcją Sheffera) od alternatywy rozłącznej sprawia trudności autorom chyba wszystkich polskich słowników i encyklopedii. Autorzy ci niesłusznie utożsamiają oba pojęcia. Co gorsza, w źródłach anglojęzycznych (i niekompetentnie tłumaczonych z angielskiego) termin „dysjunkcja” odnosi się nawet do alternatywy zwykłej. Kłopoty leksykografów z dysjunkcją biorą się być może stąd, że trudno ją oddać w języku naturalnym. Niektórzy logicy (jak Z. Kraszewski) proponują tu pojedynczy spójnik albo, inni proponują spójnik złożony co najwyżej… albo…, który jest bardziej wyrazisty i łatwiej zrozumiały. W języku prawniczym dysjunkcję wyraża spójnik bądź… bądź… (także pojedyncze bądź), zrozumiały byłby też spójnik złożony co najwyżej… bądź…. Istnieje także możliwość, aby dysjunkcję wyrazić spójnikiem może… (a) może…, np. może Kowalski jest lekarzem, a może Malinowski jest lekarzem; dla jasności odbioru znaczenia dysjunktywnego można dodać a może żaden z nich.

Na określenie dysjunkcji używa się również określeń niewspółprawdziwość lub przeciwieństwo logiczne. W informatyce i elektronice dysjunkcję wyraża spójnik Nand. Symbolem tego związku zamiast kreski prostej bywa także ukośnik: p / q. Niekiedy dysjunkcję oznacza się także p q.

Uwaga: w wielu systemach logicznych nie rozpatruje się dysjunkcji jako odrębnego związku i zastępuje negacją koniunkcji.

Alternatywa rozłączna p albo q

Oznaczenie: p q

Przykład: Kowalski jest lekarzem albo Malinowski jest lekarzem.

Objaśnienie: Prawda, gdy dokładnie jeden z nich jest lekarzem. Fałsz, gdy obaj są lekarzami. Fałsz, gdy żaden nie jest lekarzem.

W logice należy dokładnie rozróżniać spójnik lub od spójnika albo i od spójnika bądź. Każdy z nich ma inne znaczenie, a co gorsza, różni logicy proponują różne konwencje. U Ziembińskiego alternatywę rozłączną może wyrazić pojedyncze albo, za to u Kraszewskiego wymagany jest spójnik podwójny albo… albo…, podczas gdy pojedyncze albo wyraża dysjunkcję. Odróżnianie znaczenia spójnika pojedynczego od podwójnego jest jednak zdecydowanie złym pomysłem: najlepiej byłoby przyjąć, że pojedynczy i podwójny spójnik logiczny wyraża ten sam związek. Najsłuszniej zatem przyjąć, że i alternatywę rozłączną może wyrazić pojedynczy spójnik albo lub złożony albo… albo…, i taką wersję tu przyjmujemy.

Na określenie alternatywy rozłącznej używa się także terminów alternatywa wykluczająca, niezgodność logiczna, sprzeczność logiczna, kontrawalencja, różnica symetryczna lub ekskluzja. W informatyce i elektronice alternatywę rozłączną wyraża spójnik Xor, rzadziej Eor, czasem także ExOr. Ponieważ alternatywa rozłączna oznacza różną wartość logiczną zdań składowych, zapisuje się ją też czasem p ≠ q lub p q.

A oto na czym w istocie polega różnica między alternatywą rozłączną a dysjunkcją. Alternatywa rozłączna Kowalski jest lekarzem albo Malinowski jest lekarzem jest fałszywa, jeżeli żaden z wymienionych panów nie jest lekarzem. Natomiast dysjunkcja Kowalski jest lekarzem bądź Malinowski jest lekarzem pozostaje wówczas prawdziwa.

Choć podręczniki logiki z niejasnych powodów milczą na ten temat, alternatywa rozłączna może być nie tylko związkiem prawdziwościowym – zdarzenie opisane w jednym ze zdań składowych może bowiem być warunkiem (koniecznym i wystarczającym) niezajścia zdarzenia wyrażanego w drugim zdaniu. Wówczas zamiast spójnika albo stosuje się chyba że, np. pójdę na spacer, chyba że się rozpada. Sens takiej wypowiedzi jest następujący: albo deszcz spadnie i wówczas nieprawdą jest, że pójdę na spacer, albo też deszcz nie spadnie, ale wówczas na pewno pójdę pospacerować. Mamy tu więc rzeczywiście do czynienia z ekskluzją. Kolejności zdań nie można zmienić (bo choć logicznie oba są równoważne, to jednak nie są równoważne treściowo). Spójnik chyba że może zostać zastąpiony przez o ile nie (choć słownikarze nie słyszeli o takim użyciu tego spójnika) i taka operacja umożliwia przesunięcie zdania warunkowego (wraz ze spójnikiem) na pierwsze miejsce, choć wówczas sens przestaje być już tak przejrzysty, np. o ile się nie rozpada, pójdę na spacer. W angielskim stosuje się w tym znaczeniu spójnik unless, uważany za synonim if not. Polskie jeżeli nie powinno jednak wyrażać nieco inny związek niż o ile nie – implikację z zaprzeczonym poprzednikiem, równoważną alternatywie zwykłej, a nie rozłącznej.

Uwaga: w pewnych systemach logicznych zamiast alternatywy rozłącznej rozpatruje się negację równoważności. Dlatego właśnie używa się zapisu p q lub p q.

Równoważność p wtedy i tylko wtedy, gdy q

Oznaczenie: p q

Przykład: Kowalski jest lekarzem wtedy i tylko wtedy, gdy Malinowski jest lekarzem.

Objaśnienie: Prawda. gdy obaj są lekarzami lub gdy żaden nie jest lekarzem. Fałsz, gdy lekarzem jest tylko jeden z nich.

Równoważność dwóch zdań oznacza, że mają one tę samą wartość logiczną: albo oba są prawdziwe, albo oba są fałszywe. W języku naturalnym dla wyrażenia równoważności używa się form krótszych, np. p [wtedy], gdy q, a także gdy p, [wtedy] q. W logice takich skróceń unika się z uwagi na możliwość pomieszania równoważności z implikacją (można jednak powiedzieć wtedy i tylko, gdy lub zawsze i tylko, gdy).

Gdy jedno ze zdań pozostających w związku równoważności wyraża warunek (konieczny i wystarczający) zajścia zdarzenia podanego w drugim zdaniu, wówczas używa się spójnika o ile. Mimo że takie jego użycie jest powszechne we współczesnym języku polskim, nie słyszeli o nim słownikarze. Na przykład zdanie pomogę, o ile będzie to możliwe wyraża równoważność: jeśli będzie to możliwe, to na pewno pomogę, ale jeśli nie będzie to możliwe, to na pewno nie pomogę. Kolejność zdań można zmienić (wraz ze spójnikiem), ale wówczas sens staje się mniej przejrzysty: o ile będzie to możliwe, pomogę.

Na określenie równoważności używa się także terminów ekwiwalencja, zamienność lub zgodność logiczna. Równoważność wyraża spójnik Iff, w elektronice używa się także ExNor. W źródłach polskojęzycznych używa się czasem form skróconych wtw (= wtedy i tylko wtedy) lub gddy (utworzone od gdy, analogiczne do ang. iff = if and only if). Czasem zapisuje się ją zwykłym znakiem równości p = q lub symbolem równości tożsamościowej p q.

Znak na tej witrynie oznacza identyczność logiczną czyli odpowiedniość logiczną, to jest taką samą wartość logiczną po obu stronach dla każdej możliwej wartości zmiennych. Choć identyczność często (nie zawsze) jest praktycznie równoznaczna z równoważnością logiczną, nie jest jednak właściwym związkiem logicznym, gdyż nie analizujemy wszystkich jego możliwych wartości w zależności od argumentów. Różnice między tymi pojęciami okażą się w dalszej części artykułu.

Implikacja jeżeli p, to q

Oznaczenie: p q

Przykład: Jeżeli Kowalski jest lekarzem, to Malinowski jest lekarzem.

Objaśnienie: Prawda, gdy obaj są lekarzami. Prawda, gdy Kowalski nie jest lekarzem, bez względu na to, czy wówczas Malinowski jest lekarzem, czy nie. Fałsz tylko wtedy, gdy Kowalski jest lekarzem, a Malinowski nim nie jest.

Implikacja (inaczej wynikanie lub podporządkowanie logiczne) jest jedynym związkiem logicznym (występującym w różnych odmianach), w którym istotna jest kolejność zdań. Implikacja jest więc związkiem nieprzemiennym, podczas gdy pozostałe związki są przemienne. W języku potocznym często nie uświadamiamy sobie tej własności implikacji, a słowo jeżeli często jest używane w zupełnie innym znaczeniu.

Zdanie następujące po jeżeli nazywa się poprzednikiem (racją), zdanie następujące po to nazywa się następnikiem (następstwem; następnik, czyli zdanie q, jest podporządkowany poprzednikowi, czyli zdaniu p; przy pozostałych związkach logicznych zwykle nie używa się tych pojęć). Implikacja nie jest odwracalna: ze zdania jeżeli p, to q nie wynika wcale, że jeżeli q, to p. Nie wolno więc zamieniać poprzednika z następnikiem. A zatem zdanie jeżeli Malinowski jest lekarzem, to Kowalski jest lekarzem nie jest równoważne podanemu przykładowi; jest to oczywiście również implikacja, którą można nazwać implikacją odwrotną względem podanej. Implikację odwrotną q p zapisuje się też p q. Czasami do oznaczania implikacji używa się pojedynczych strzałek (p q, p q).

W sytuacji, gdy poprzednik jest fałszywy, implikacja jest prawdziwa bez względu na to, co orzeka następnik. Na przykład zdanie jeżeli będzie ładna pogoda, to Irena pójdzie na spacer jest prawdziwe w sytuacji, gdy padało, a Irena mimo to poszła się przejść. Byłoby ono także prawdziwe, gdyby Irena w wypadku ulewy pozostała w domu.

Prawdziwe jest także zdanie Jeżeli Polska leży w Azji, to Berlin jest jej stolicą. Ponieważ poprzednik jest tu fałszywy, całe stwierdzenie pozostaje prawdziwe, mimo że przecież Berlin nie jest stolicą Polski. A zatem implikacja jest prawdziwa, gdy następnik jest prawdziwy lub poprzednik fałszywy. Ta właściwość implikacji również bywa nieuświadamiana przez mówiących. Symbolicznie można ją zapisać w postaci prawa eliminacji implikacji: (p q) (~p q).

Dodanie tylko przed spójnikiem jeżeli, gdyby, gdy (nie po nim!) zmienia kierunek implikacji. Na przykład zdanie Tylko jeżeli Kowalski jest lekarzem, to Malinowski jest lekarzem jest fałszywe, gdy Kowalski nie jest lekarzem, a Malinowski nim jest. W każdym innym wypadku jest to zdanie prawdziwe. W szczególności niczego nie możemy powiedzieć o Kowalskim, jeżeli wiemy, że Malinowski lekarzem nie jest.

Implikacja jest trudnym związkiem logicznym i często kłóci się z intuicją. Gdy następnik wpływa w jakiś sposób na zajście poprzednika (patrz też niżej), używa się zdań o postaci:

Obrazowo można powiedzieć, że strzałka implikacji zaczyna się od zdania składowego poprzedzonego słowem zawsze i jest skierowana w stronę zdania poprzedzonego słowem tylko. Dlatego zdanie Irena pójdzie na spacer tylko wtedy, gdy będzie ładna pogoda oznacza, że Irena może pozostać w domu niezależnie od pogody, ale jeśli już pójdzie na spacer, to tylko wtedy, gdy będzie ładna pogoda (p q). To samo wyraża zdanie Tylko jeśli będzie ładna pogoda, Irena pójdzie na spacer (q p). Z kolei zdanie Irena pójdzie na spacer na pewno wtedy, gdy będzie ładna pogoda oznacza, że Irena może pójść na spacer niezależnie od pogody, ale jeśli już będzie ładna pogoda, to na pewno na spacer pójdzie, a zatem implikację odwrotną (p q). To samo wyraża nieco sztuczne zdanie Na pewno jeśli będzie ładna pogoda, to Irena pójdzie na spacer (q p).

Jak łatwo zauważyć, jednoczesną prawdziwość implikacji prostej i odwrotnej wyrazi stwierdzenie Irena pójdzie na spacer zawsze wtedy i tylko wtedy, gdy będzie ładna pogoda (równoważność p q), rzadko używane w takiej postaci w języku naturalnym. Częściej mówi się po prostu Irena pójdzie na spacer, gdy będzie ładna pogoda. Wynika stąd, że o ile spójnik warunkowy jeśli występować może (i powinien) w implikacji, o tyle spójnik czasowy gdy użyty bez dodatkowych określeń (tylko lub zawsze) wyraża równoważność, a nie implikację.

Implikację utożsamia się ze zdaniem warunkowym, co jednak nie zawsze jest prawdą. Czasem warunek (wystarczający) rzeczywiście wyrażony jest w poprzedniku, np. jeżeli w mieście funkcjonuje port rzeczny, to rzeka przepływająca przez to miasto jest spławna. Czasem warunek (konieczny) wyrażony jest w następniku, np. w organizmie występuje choroba zakaźna tylko jeśli obecny jest drobnoustrój wywołujący tę chorobę. Czasem wreszcie jest tak, że implikacja w ogóle nie zawiera warunku, np. w Poznaniu jest funkcjonujący port rzeczny, z czego wynika, że przepływająca przez miasto rzeka jest spławna.

Jak widać z podanych przykładów, w języku naturalnym jest zupełnie inaczej niż chcieliby logicy, i implikację prostą p q wyrażają różne konstrukcje zależnie od istnienia i rodzaju warunku. I tak, implikacje z warunkiem wystarczającym (w poprzedniku) wyrażane są konstrukcjami:

Implikacje z warunkiem koniecznym (w następniku) wyrażane są konstrukcjami:

Implikacje niezawierające warunku wyrażane są konstrukcjami:

Implikację odwrotną p q z warunkiem wystarczającym wyrażają konstrukcje:

Implikację odwrotną z warunkiem koniecznym wyrażają konstrukcje:

Implikację odwrotną niezawierającą warunku wyrażają konstrukcje:

Implikacjami są najczęściej obietnice (obiecuję, że jeżeli p, to q), zapewnienia (zapewniam, że jeśli p, to q), jednak wiele innych wypowiedzi typu jeżeli p, to q ma raczej charakter równoważności niż implikacji (słuszne byłoby jednak używać wówczas spójnika o ile zamiast jeżeli). W intuicyjnym rozumieniu implikacja oznacza raczej związek przyczynowo–skutkowy, dlatego zdanie z tego, że księżyc jest z sera wynika, że Warszawa jest stolicą Francji jest (prawdziwą!) implikacją w sensie logicznym, ale nie w sensie intuicyjnym. Domagamy się także niekiedy, aby zaistnienie poprzednika następowało przed zaistnieniem następnika (np. jeżeli Maria przyjedzie, pójdę z nią do parku), lub przynajmniej aby trwanie sytuacji opisanej w poprzedniku zaczęło się wcześniej niż zajście następnika (np. jeżeli będzie ładna pogoda, pójdę z Marią do parku). Jednak dla tzw. implikacji materialnej, a więc w sensie używanym w logice, nie stawia się takich warunków. Dlatego np. zdanie jeżeli pójdę z Marią do parku, to ona przyjedzie jest logicznie zupełnie poprawne, choć sprawia wrażenie językowego absurdu. W języku naturalnym powiedzielibyśmy zapewne jeżeli pójdę z Marią do parku, to będzie oznaczało, że ona przyjechała, albo też pójdę z Marią do parku tylko wtedy, gdy przyjedzie.

Uwaga: oprócz implikacji prostej (jeżeli p, to q), zwanej także ekstensywną, oraz implikacji odwrotnej (jeżeli q, to p), zwanej także intensywną, rozpatruje się także implikację przeciwną (jeżeli nie p, to nie q) oraz implikację przeciwstawną (jeżeli nie q, to nie p). Implikacja przeciwna jest równoważna implikacji odwrotnej, zaś implikacja przeciwstawna implikacji prostej. O związkach tych będzie mowa poniżej.

Zebranie wartości związków logicznych

p q p q p ↓ q p q p | q p q p q p q p q p q p q
1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0
1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0
0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1
0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0

(1 – prawda, 0 – fałsz)

Podane w tabeli związki międzyzdaniowe stanowią 10 spośród 16 możliwych zestawień prawdy i fałszu. Układy te można opisać w postaci liczb binarnych 1000, 0001, 1110, 0111, 0110, 1001, 1011, 1101, 0100 i 0010 (por. z zawartością tabeli). W logice nie rozpatruje się związków, których wartość logiczna nie zależy od wartości zdań składowych p i q (a więc związków 1111 i 0000). Nie rozpatruje się także związków o wartości niezależnej od wartości jednego ze zdań składowych (a więc związków 1100, 0011, 1010, 0101). Tym sposobem z możliwych 16 układów pozostaje tylko 10. O zaprzeczeniu implikacji prostej (p q) i odwrotnej (p q) będzie mowa poniżej.

O przygodach pani Marii

Pani Maria jest osobą niezwykle prawdomówną, ponadto wypowiada zdania, ściśle przestrzegając znaczenia spójników. Właśnie wracała do domu, gdy została zagadnięta przez swojego sąsiada, pana Jana. Pan Jan zadał jej pytanie, skąd wraca. Czego dowiedział się pan Jan w sytuacji, gdy pani Maria odpowiedziała:

Analiza wypowiedzi w języku naturalnym

Częstym zjawiskiem w języku naturalnym jest elipsa – pominięcie powtarzających się lub domyślnych fragmentów wypowiedzi. Przykłady widzieliśmy w wypowiedziach pani Marii. Na przykład jej stwierdzenie odwiedziłam albo Marka, albo Pawła znaczy tyle, co albo odwiedziłam Marka, albo odwiedziłam Pawła.

W języku naturalnym spory problem stwarzają implikacje i równoważności, które często miesza się ze sobą, co oczywiście nie jest dopuszczalne w logice. Zwróćmy w szczególności uwagę, że umieszczenie zdania warunkowego na drugim miejscu nadaje całości inne znaczenie: wypowiedź odwiedziłam Pawła, jeżeli odwiedziłam Marka byłaby zapewne zrozumiana tak, że albo pani Maria była u obu tych panów, albo u żadnego z nich (czyli jako równoważność, a nie implikacja). W rzeczywistości różnica między oboma związkami jest zachowana: na implikację wskazuje konstrukcja jeżeli… to…, natomiast na równoważność sam spójnik jeżeli. Dla logika różnica ta jest za mała i grozi omyłką. Dlatego oba człony równoważności łączy się przy pomocy nienaturalnego wtedy i tylko wtedy, gdy. Język naturalny jest bardziej zwięzły, ale też możliwość nieporozumienia jest większa.

Na przykład, zdanie jeżeli będzie padać, to zostanę w domu informuje tylko, co się stanie w razie niepogody. Nie wiadomo natomiast, co się wydarzy, jeśli będzie ładna pogoda. Zdanie to jest zatem implikacją, choć w praktyce okazuje się, że wielu ludzi i tak nada mu znaczenie równoważności. Za to zdanie zostanę w domu, jeżeli będzie padać jest już powszechnie rozumiane jako równoważność: ładna pogoda oznaczać będzie pójście na spacer, a deszcz – pozostanie w domu.

Często jest też tak, że równoważność logiczna pozbawiona jest w języku naturalnym jakiegokolwiek spójnika. Dzieje się tak często w tzw. stwierdzeniach ogólnych, także jeśli dotyczą one obszaru nauki. Na przykład zdanie ciało, na które działa stała siła, porusza się ruchem jednostajnie przyśpieszonym rozumiane jest jako równoważność, choć nie ma tu ani ścisłego „wtedy i tylko wtedy”, ani nawet potocznego „jeżeli”.

Związek przyczynowo–skutkowy a związki logiczne

wystarczający ⇒ konieczny

Zależność między związkiem przyczynowo–skutkowym a związkiem warunkowym może być rozmaita. Czasami bywa tak, że zaistnienie faktu p powoduje automatycznie zaistnienie faktu q. Zdarzenie, które miało miejsce wcześniej, lub też stwierdzony wcześniej fakt, jest warunkiem wystarczającym albo dostatecznym zdarzenia późniejszego, albo faktu dotąd wprost niestwierdzonego. Używając terminów logicznych powiemy w tym wypadku, że poprzednik p jest warunkiem wystarczającym następnika q: p q (implikacja prosta czyli implikacja ekstensywna). Zauważmy też, że z faktu niezajścia zdarzenia q możemy wnioskować o niezajściu zdarzenia będącego jego warunkiem wystarczającym: ~p ~q (implikacja przeciwstawna). Związek zawierający warunek wystarczający (krótko: związek wystarczający) jest więc szczególnym przypadkiem implikacji. Przykłady warunków wystarczających:

Zauważmy, że warunek wystarczający p nie zawsze musi być spełniony, a mimo to zdarzenie q i tak zajdzie. Rzeka może być spławna mimo braku portu rzecznego. Samolot może nie wykonać swojej misji także wskutek wielu innych zdarzeń, choćby złych warunków pogodowych. Walenie są ssakami, a mimo to są bezwłose. Istnieją chiralne obiekty, posiadające dwukrotną oś symetrii (zob. tutaj). Liczba 15 jest podzielna przez 5, ale nie przez 10. Istnienie maksimum funkcji w danym punkcie nie oznacza jeszcze, że funkcja w ogóle ma w tym punkcie pierwszą i drugą pochodną.

konieczny ⇐ wystarczający

Czasami bywa jednak tak, że zaistnienie faktu p nie powoduje wcale automatycznego zaistnienia faktu q, jednak fakt p jest warunkiem koniecznym albo niezbędnym (warunkiem sine qua non) faktu q. Gdyby bowiem fakt p nie zaszedł, fakt q również na pewno nie zajdzie: ~p ~q (implikacja przeciwna). To samo możemy także zapisać w innej postaci: p q (implikacja odwrotna czyli implikacja intensywna). Zwróćmy uwagę, że warunek konieczny p poprzedzający w czasie zajście zdarzenia q jest następnikiem implikacji. Przykłady warunków koniecznych:

Zauważmy, że zajście warunku koniecznego p nie musi powodować zajścia zdarzenia q. Sama obecność drobnoustroju nie zawsze musi powodować rozwój choroby. Współczucie wcale nie musi zrodzić miłosierdzia. Pomimo zdania matury można przecież nie pójść na studia. Bywa czasem, że pomimo udostępnienia kodu źródłowego autor zabrania rozpowszechniania napisanego przez siebie programu bez ograniczeń – takiego oprogramowania nie uważa się za wolne. Kręgosłup występuje nie tylko u ssaków, ale również u ptaków, gadów, płazów czy ryb. Liczba 20 ma cyfrę 0 na ostatniej pozycji, a mimo to nie jest podzielna przez 15. Zerowa wartość pochodnej może wystąpić także w punkcie przegięcia.

konieczny i wystarczający ⇔ konieczny i wystarczający

Wreszcie trzecia i ostatnia możliwość jest wówczas, gdy zaistnienie faktu p jest warunkiem koniecznym i wystarczającym faktu q. Na przykład cecha krytyczna stanowi warunek konieczny i wystarczający do zaliczenia jakiegoś pojęcia do danej kategorii. O warunku wystarczającym i koniecznym mówimy także, gdy zajście zdarzenia p pociągnie za sobą zajście zdarzenia q, a zajście zdarzenia q musiało być spowodowane uprzednim zajściem zdarzenia p. Używając terminów logicznych powiemy, że zachodzi równoważność p q.