Wersja z 2013-05-05

Wstęp do kursu kombinatoryki

Celem tej części witryny jest zapoznanie ze sztuką rozwiązywania zadań z kombinatoryki, przydatną zwłaszcza maturzystom, ale i wszystkim innym zainteresowanym. Kurs napisany jest tak, by pomóc nawet osobom o znikomej (wręcz zerowej) wiedzy i o bardzo nikłych umiejętnościach, nie tylko matematycznych. Dlatego właśnie poniżej znajdziemy szczegółowe objaśnienia, jak mnożyć przez siebie trzy liczby w pamięci, albo co to właściwie jest trefl, reszka czy też urna (niestety, doświadczenie uczy, że uczniowie często nie mają tej wiedzy, a gdzieś przecież powinni ją zdobyć). Analizowane są też szczegółowo nawet najprostsze zadania. Warto się ich dobrze nauczyć, zresztą kombinatoryka jest podstawą dla większości zadań z innego działu matematyki – rachunku prawdopodobieństwa.

Oprócz problemów trywialnych omówiono tutaj także zagadnienia zaawansowane, poruszane tylko przez niektórych nauczycieli matematyki w klasach maturalnych z rozszerzoną matematyką, albo też w ogóle nie omawiane w szkołach średnich.

Zadania z kombinatoryki można zwykle rozwiązać na kilka sposobów. Dlatego też właśnie w rozwiązaniach zadań znajdziemy zwykle klika metod (nie oznacza to, że zadania nie można rozwiązać jeszcze inaczej). Zadania łatwe (odpowiadające podstawowemu poziomowi matematyki w szkołach średnich) nie są dodatkowo oznaczone, zadania trudniejsze (wymagające wiedzy z zakresu matematyki rozszerzonej) oznaczono gwiazdką (*). Dwie gwiazdki (**) oznaczają zadania z działów „dodatkowych”, zwykle w szkołach średnich nieomawianych. Wreszcie zadania z trzema gwiazdkami wymagają wiedzy zdecydowanie wykraczającej poza zakres licealny (co nie oznacza, że są one nie do zrobienia…).

Na początku kursu przybliżone zostaną najbardziej podstawowe zagadnienia, a wyjaśnienia zostaną zilustrowane zadaniami, które są całkowicie rozwiązane. Potem zostaną omówione zagadnienia teoretyczne, zarówno te obecne w podręcznikach licealnych, jak i te nieobecne (a z pewnych powodów interesujące). Objaśnieniom również towarzyszyć będą całkowicie przeanalizowane przykłady. Ostatnia część to obszerny zbiór zadań do samodzielnego rozwiązania, zaopatrzony w ukryte rozwiązania, nieco mniej detaliczne, ale wciąż pomocne. Ze względów praktycznych zadania pogrupowano tematycznie, a nie według metod rozwiązywania (choćby dlatego, że dane zadanie można rozwiązać na wiele sposobów). Osobno są więc zadania dotyczące rzutów kostkami, osobno zadania dotyczące kart itd. Taka organizacja pomoże w opanowaniu całości materiału. W końcu maturzysta nie dostaje w zadaniu z kombinatoryki informacji, jakiej ma użyć metody, z jakim rodzajem zestawienia ma do czynienia itd.

Uwaga: artykuły są w trakcie tworzenia. Wiele rzeczy pozostało jeszcze nienapisanych…

Zakres kombinatoryki

Kombinatoryka uważana jest za dział matematyki, używa jednak nieco odrębnych pojęć od innych gałęzi tej dziedziny wiedzy. Na problem ten napotykamy już na samym wstępie, chcąc określić zakres zainteresowań kombinatoryki. Zajmuje się ona bowiem obliczaniem liczby zestawień, czyli grup przedmiotów zwanych elementami. Mówiąc dokładniej, kombinatoryka odpowiada na pytanie, ile da się zbudować zestawień określonego rodzaju z dostępnych elementów. Częśto pytanie to przybiera nieco inną postać: ile jest możliwości podjęcia decyzji w konkretnej sytuacji, albo ile jest możliwych różnych wyników jakiegoś działania.

W kombinatoryce często badamy różnego rodzaju doświadczenia losowe, czyli zdarzenia, w wyniku których uzyskujemy różne rezultaty. Doświadczenia takie odwołują się często do naszej ogólnej wiedzy o świecie, dlatego aby nauczyć się kombinatoryki, trzeba wcześniej wiedzieć, ile ścianek ma kostka do gry, albo co oznacza słowo „pik”. Właściwie trzeba rozumieć określenie „losowe” – nie oznacza ono wcale „niezależne od woli”, ale raczej takie, którego wyniki zmieniają się, gdy je powtarzamy. Wyjaśnimy to poniżej, analizując przykłady prostych problemów kombinatorycznych.

Przykłady najprostszych zadań z kombinatoryki

Przykładem trywialnego doświadczenia losowego jest rzut monetą. Moneta podrzucona w górę upada tak, że widoczna jest tylko jedna z jej stron. Fachowo „orzeł” zwany jest „awersem” monety, zaś przeciwna strona, ta z nominałem, zwana jest „reszką” lub „rewersem”. Z założenia awers ma być stroną ważniejszą, rewers zaś mniej ważną – jednak dla przeciętnego człowieka ważniejszy jest akurat rewers monety, bo informuje o jej nominale. W przypadku waluty europejskiej (€) w UE przyjmuje się, że awersem jest strona „narodowa”, a rewersem strona międzynarodowa, tymczasem NBP przyjmuje odwrotnie. Z uwagi na te rozbieżności w zadaniach z kombinatoryki używa się wyłącznie określeń „orzeł” i „reszka”. W wyniku rzutu monetą otrzymujemy więc dwa możliwe wyniki – „wypadł orzeł” lub „wypadła reszka”. Losowy charakter doświadczenia każdy rozumie tu intuicyjnie, to los bowiem sprawia, że w konkretnym rzucie pada akurat np. orzeł. Innym trywialnym doświadczeniem jest rzut kostką (jeśli nie podano tego wyraźnie, mamy na myśli zwykłą, sześcienną kostkę do gry, na której ścianach umieszczono od jednej do sześciu kropek) – możliwych jest sześć różnych wyników takiego doświadczenia („wypadło jedno oczko”, „wypadły dwa oczka”, itd.).

Nieco mniej trywialnym doświadczeniem jest wyciągnięcie 1 karty z zakrytej talii. Nie dzieje się to bez woli uczestnika doświadczenia, jednak jego „decyzja” jest przypadkowa (a właściwie nie podejmuje on żadnej decyzji, bo wyciąga kartę „na ślepo”). Jeśli ktoś nie jest zwykłym oszustem, to jedynie los sprawia, że wyciąga akurat tę a nie inną kartę.

Zwykle w zadaniach rozpatruje się talię brydżową bez dżokerów, dlatego trzeba dobrze przyswoić sobie, jak taka talia wygląda. Otóż obejmuje ona łącznie 52 karty. Karty te występują w 4 kolorach. 2 z nich to kolory czerwone: kier () i karo () oraz czarne: trefl () i pik (). Potocznych („ludowych”) nazw kolorów: czerwień, dzwonek, żołądź, wino, w zadaniach nie używa się, poza tym określenie „karta czerwona” odnosi się do karty koloru kier lub karo, a nie tylko kier. Każdy kolor, co łatwo policzyć, obejmuje 13 kart. Są to dwójki, trójki, …, dziesiątki (2 – 10), zwane ogólnie blotkami (choć w brydżu za blotki nie uważa się dziesiątek) oraz figury: walet, dama, król, as. Choć w grach karcianych bywa różnie, w zadaniach przyjmujemy, że as jest kartą najstarszą i zaliczamy go do figur (chyba, że wyraźnie podano inaczej). Mamy więc w każdym kolorze 9 blotek i 4 figury. W doświadczeniach z kartami często chodzi nam nie o wyciągnięcie konkretnej karty, np. damy pik, ale o wyciągnięcie karty, która jest na przykład szóstką (dowolnego koloru) albo czerwoną figurą (waletem, damą, królem lub asem kier lub karo).

Poza tym w niektórych zadaniach rozważamy inne rodzaje talii kart (wszystkich tych dodatkowych informacji nie potrzeba uczyć się na pamięć – niemal zawsze są one podane w treści zadania):

Przed laty najczęściej spotykanymi zadaniami z kombinatoryki były te związane z wyciąganiem różnych przemiotów z pojemników lub z wkładaniem przedmiotów do pojemników. Zazwyczaj rozpatrywano przy tym kule i urny. Pojęć tych nie objaśniano. O ile jednak każdy wyobraża sobie kulę, o tyle nie każdy wie, jak wygląda urna. Otóż twórcy kombinatoryki posłużyli się tu rodzajem ponurego żartu. Słowo „urna” jest bowiem etymologicznie związane z łacińskim czasownikiem urere, znaczącym ‘palić’. W rzeczywistości jest to więc nieprzezroczyste naczynie w kształcie dzbana, flakonu lub pudełka służące do przechowywania prochów osoby zmarłej, której zwłoki spalono (poddano kremacji). Twórcy problemów kombinatorycznych zamiast prochów znajdują w urnach (najczęściej) kule. Kule te bywają jednokolorowe lub różnobarwne, czasami są ponumerowane, innym razem nie są – wszystko wyjaśnione jest w treści zadania. Dziś nieznane z osobistych doświadczeń wielu ludzi urny zastępuje się niekiedy szufladami lub pudełkami. Same urny (pojemniki, naczynia, kubki itd.) mogą też być identyczne i nie do odróżnienia, albo też mogą się różnić od siebie.

„Prawdziwa” kombinatoryka zaczyna się wówczas, gdy wynikiem doświadczenia losowego nie jest pojedynczy obiekt, ale zestawienie obiektów. Możemy zatem wykonywać dwa rzuty kostką (lub rzut dwiema kostkami, co niekoniecznie oznacza to samo!), możemy rzucać jednocześnie kostką i monetą, albo też ciągnąć np. 5 kart z talii, w dodatku ze zwracaniem lub bez zwracania.

Inne klasyczne zadania kombinatoryczne dotyczą:

Zauważmy, że „losowy” nie zawsze oznacza tu „niezależny od woli”. Człowiek zajmuje określone miejsce w autobusie całkowicie świadomie. Zakładamy jednak, że to, że wybrał akurat to miejsce a nie inne, jest już sprawą całkowitego przypadku. W kombinatoryce nie interesuje nas nawet to, że ktoś może woleć jakieś miejsce od innego, i dlatego wybierze je częściej – to już domena probabilistyki, czyli rachunku prawdopodobieństwa. Kombinatoryka odpowiada jedynie na pytanie, na ile sposobów dany człowiek może wybrać miejsce w autobusie. Nie interesuje nas wcale, że są miejsca, których dany, konkretny człowiek, z takich czy innych powodów niemal na pewno nie wybierze. Ważne jest jedynie to, że ma taką możliwość. Sam zaś jego wybór uważamy za losowy, przemilczając kryteria, którymi się kierował, bo mogły one być zmienne. Wybór miejsca w autobusie przez człowieka będzie więc dla nas decyzją losową.

Tak samo za doświadczenie losowe uznamy wybór piętra, na którym wysiada osoba jadąca windą, choć z życia wiemy przecież, że nie wysiada się raczej na piętrze przypadkowym. Interesują nas bowiem możliwości opuszczenia windy, a nie to, na którym piętrze konkretna osoba wysiądzie w konkretnej sytuacji. Wybór uważamy więc za wynik losowej decyzji.

Dodatkowe pomocne informacje

Ile jest liter? pokaż ukryj

Ile jest cyfr? pokaż ukryj

Jakie liczby są naturalne, wymierne itd.? pokaż w nowym oknie

Które liczby są podzielne przez 2, 3, 4 itd.? pokaż w nowym oknie

Ile jest liczb naturalnych w danym przedziale pokaż ukryj

Ile w danym przedzialne jest liczb naturalnych podzielnych przez 2, 3, 4, itd.? pokaż ukryj

Na czym polega zasada wyłączania i włączania? pokaż ukryj

Reguła mnożenia

Jeśli doświadczenie jest wieloetapowe i polega na tym, że należy podjąć kolejno więcej niż jedną decyzję (dokonać więcej niż jednego wyboru), a przy tym każda decyzja jest podejmowania niezależnie, wówczas do obliczenia ilości wyników całego doświadczenia stosujemy regułę mnożenia. Wyjaśnimy to, analizując szereg przykładów.

1. Rzucamy monetą 1-złotową, a następnie 2-złotową. Ile może być różnych wyników tego doświadczenia? Rozwiązanie Ukryj


Po pierwszym rzucie możemy spodziewać się dwóch wyników: „wypadł orzeł” (o) lub „wypadła reszka” (r). Drugi rzut także prowadzi do dwóch wyników: (O) lub (R) – duża litera oznacza tu monetę 2-złotową. Całe doświadczenie ma natomiast 4 wyniki: (o, O), (o, R), (r, O), (r, R). Wynik ten otrzymujemy, mnożąc ilość wyników pierwszego etapu (2) przez ilość wyników drugiego etapu (także 2).


2. Rzucamy monetami 1-, 2- i 5-złotową. Ile jest różnych wyników tego doświadczenia? Rozwiązanie Ukryj


Niech zapis (1r) oznacza „moneta 1-złotowa upadła reszką do góry”, podobnie zapis (5o) oznacza „moneta 5-złotowa upadła orłem do góry”. Monety rzucamy jednocześnie, nie możemy więc mówić o etapach, a bardziej o częściach czy członach doświadczenia. Ma to jednak tylko znaczenie nazewnicze. Oto wszystkie możliwe wyniki tego doświadczenia: (1o, 2o, 5o), (1o, 2o, 5r), (1o, 2r, 5o), (1o, 2r, 5r), (1r, 2o, 5o), (1r, 2o, 5r), (1r, 2r, 5o), (1r, 2r, 5r). Jak widać, jest ich osiem. Nie wolno wypisywać ich chaotycznie. Warto odkryć zasadę wypisywania wszystkich tego rodzaju zestawień i nauczyć się je wypisywać samodzielnie. Zwróćmy uwagę, że początkowo zmieniamy tylko wynik ostatniego członu.


3. Ile jest różnych wyników rzutu kolejno czterema monetami? Rozwiązanie Ukryj


Jeśli rzut jedną monetą prowadzi do dwóch różnych wyników, rzut dwiema monetami do czterech, a rzut trzema monetami do ośmiu wyników, to ile będzie wyników rzutu kolejno czterema monetami? Aby zanotować te wyniki, zastosujemy notację uproszczoną. Zapis „orro” będzie oznaczał, że w pierwszym rzucie padł orzeł, w drugim reszka, w trzecim też reszka, w czwartym orzeł. Dobrze byłoby teraz przerwać czytanie, i wszystkie możliwe wyniki wypisać samodzielnie (w uporządkowany sposób).

A oto ich lista: oooo, ooor, ooro, oorr, oroo, oror, orro, orrr, rooo, roor, roro, rorr, rroo, rror, rrro, rrrr. Wyników jest naturalnie 16. Ponieważ doświadczenie składało się z 4 części (tutaj były to kolejne etapy), a w każdej części mogliśmy otrzymać 2 wyniki (orzeł lub reszka), dlatego końcowych wyników jest 2 · 2 · 2 · 2 = 16.


4. Kolejne zadanie polegać będzie na otwarciu zamka cyfrowego. Zamek składa się z trzech pierścieni, na których umieszczono kolejno wszystkie cyfry od 0 do 9. Ile możliwości trzeba sprawdzić, by na pewno otworzyć zamek? Rozwiązanie Ukryj


Musimy oczywiście wypróbować wszystkie możliwości, bo jeśli będziemy mieć pecha, na tę właściwą trafimy dopiero za ostatnim razem. Oczywiście najprawdopodobniej otworzymy zamek wcześniej, ale to już nie należy do przedmiotu zainteresowań kombinatoryki. My mamy tylko odpowiedzieć na pytanie, ile jest możliwości otwarcia zamka.

Błędna jest odpowiedź „27”. Na każdym z pierścieni są cyfry od 0 do 9, co oznacza, że jest ich 10, a nie 9. Błędna jest też reszta rozumowania.

Błędna jest także odpowiedź „30”. Pierwszy pierścień ustawiamy na 10 sposobów, drugi na 10, i trzeci też na 10. Jednak liczb tych nie wolno nam dodawać! Przecież pierścienie ustawiamy niezależnie, każdy odrębną decyzją. Jeśli na pierwszym ustawimy „0”, to na drugim możemy ustawić „0”, „1”, … „9”, co daje już 10 możliwości (bez poruszenia pierścienia numer 3). Ustawmy teraz pierwszy pierścień na „1” i ustawiajmy znów drugi pierścień na „0”, „1” itd. – mamy kolejne 10 możliwości. Powtórzmy nasze pomocnicze doświadczenie jeszcze 8 razy, ustawiając na pierwszym pierścieniu „2”, „3”… i za każdym razem sprawdzając wszystkie możliwe ustawienia drugiego pierścienia. Łącznie otrzymaliśmy aż 100 możliwości, a nawet nie dotknęliśmy trzeciego pierścienia zamka – a zatem już mamy znacznie więcej niż 30 możliwości.

Prawidłowej odpowiedzi pozwoli nam udzielić reguła mnożenia: możliwości ustawienia zamka jest 10 · 10 · 10, czyli 1000.


5. Ile jest wszystkich liczb naturalnych od 0 do 999? Rozwiązanie Ukryj


Właściwie już udzieliliśmy odpowiedzi na to pytanie – jest ich 1000, tyle samo, co kodów w poprzednim zadaniu. Każdą z możliwości ustawienia zamka możemy bowiem zapisać jako trzycyfrowy kod. Na przykład zapis 154 oznacza, że na pierwszym pierścieniu ustawiono 1, na drugim 5, na trzecim 4. Zapis taki możemy interpretować jako liczbę, z tym że każda taka nasza „liczba” musi mieć trzy cyfry. Zapis 015 (zero na pierwszym, jeden na drugim, pięć na trzecim pierścieniu) oznaczałby wówczas zwykłą piętnastkę, a zapis 000 to po prostu zero. Tym sposobem zapiszemy wszystkie liczby od 0 aż do 999. Jest ich tyle, co kodów w poprzednim zadaniu, czyli tysiąc.

Oczywiście to samo zadanie można rozwiązać całkiem inaczej. Nasz przedział obejmuje liczby 1, 2, 3, …, 999 – jest ich oczywiście 999. Dodatkowo obejmuje też zero, czyli wszystkich liczb jest 1000.


6. Ile liczb należy do przedziału od 12 do 98? Rozwiązanie Ukryj


W zadaniu tym nie wykorzystamy reguły mnożenia, ale jednego ze sposobów podanych wyżej. Choć nie podano tego wprost, domyślamy się, że chodzi o liczby naturalne (czyli całkowite nieujemne), a więc o liczby 12, 13, 14, … 96, 97, 98. Przedział jest domknięty, czego również musimy się domyślić (czyli 12 i 98 należą do tego przedziału). Aby szybko podać, ile jest takich liczb, możemy postąpić trojako (zgodnie z podanymi wyżej zasadami):

Za każdym razem wynik jest taki sam, reguła sprawdza się we wszystkich trzech wypadkach.


7. Ile jest liczb jednocyfrowych? Rozwiązanie Ukryj


Pojęcie „liczba n-cyfrowa” ma sens tylko w odniesieniu do liczb całkowitych. Co więcej, jeśli nie podano inaczej, zakładamy, że chodzi o liczby nieujemne, tj. naturalne (z zerem włącznie). Zadanie wydaje się banalne, ale takie nie jest, zwłaszcza, gdy chodzi o wybór między 9 a 10.

Możemy liczby jednocyfrowe (nieujemne) policzyć na palcach. Uwaga – numer drugi otrzyma wówczas liczba jeden! (bo numer pierwszy otrzyma zero).

Możemy też skorzystać z reguł podanych w zad. 6. Weźmy najmniejszą (nieujemną) liczbę jednocyfrową, czyli zero (liczba ta należy do naszego przedziału), oraz liczbę „graniczną” nienależącą do naszego przedziału, czyli następującą po dziewiątce. Liczbą tą jest 10. Działanie 10 − 0 daje wynik 10, i tyle właśnie mamy liczb (naturalnych) jednocyfrowych.

Wreszcie najbardziej trywialne rozwiązanie: liczb jednocyfrowych jest tyle, co cyfr, bo każda cyfra oznacza też pewną liczbę. Czyli jest ich 10.


8. Ile jest liczb dwucyfrowych? Rozwiązanie Ukryj


Ponownie przyjmujemy, że chodzi o liczby naturalne. Wypiszmy sobie początek i koniec ich ciągu: 10, 11, 12, … 97, 98, 99.

I sposób: Weźmy liczbę najmniejszą w naszym przedziale, czyli 10, oraz następną po największej (99), czyli 100. Odejmijmy: 100 − 10 = 90.

II sposób: Zauważmy, że liczba dwucyfrowa jest kodem złożonym z cyfr, ale dość szczególnym. Na pierwszym miejscu nie może bowiem stać zero. Gdyby nawet „na siłę” dopuścić istnienie liczb typu 01, to nie byłyby to liczby dwucyfrowe!

Inaczej mówiąc, na pierwszym miejscu może wystąpić tylko 9 cyfr, zero jest wykluczone. Na drugim miejscu może natomiast wystąpić dowolna cyfra. Przypomnijmy sobie, że cyfr jest 10. Zatem możliwości wyboru na pierwszym miejscu mamy 9, a na drugim 10. Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwości jest zatem 9 · 10 = 90.


9. Ile jest liczb trzycyfrowych, ile liczb trzycyfrowych parzystych, a ile nieparzystych? Rozwiązanie Ukryj


W zadaniu znów chodzi wyłącznie o liczby naturalne. Ilość wszystkich liczb trzycyfrowych ustalimy łatwo analogicznie jak w zadaniu poprzednim. W pierwszym sposobie weźmiemy najmniejszą liczbę trzycyfrową, czyli 100, oraz najmniejszą liczbę, która już nie jest trzycyfrowa, tj. 1000. Odejmowanie daje 1000 − 100 = 900.

To samo obliczymy, korzystając z reguły mnożenia. Pierwszą cyfra liczby trzycyfrowej nie może być zero, mamy więc tylko 9 możliwości. Druga i trzecia cyfra mogą być dowolne (a pamiętamy, że cyfr mamy dziesięć). Mamy zatem łącznie 9 · 10 · 10 = 900 liczb trzycyfrowych.

Aby obliczyć, ile jest liczb trzycyfrowych parzystych, a ile nieparzystych, posłużymy się kilkoma metodami.

I sposób. Jak pamiętamy, jeśli mamy ciąg złożony z parzystej ilości kolejnych liczb (np. 5, 6, 7, 8, 9, 10), to zawsze połowa ich jest parzysta (a połowa nieparzysta). Wśród 6 kolejnych liczb mamy więc 3 parzyste i 3 nieparzyste, podobnie wśród 900 kolejnych liczb mamy 450 parzystych i 450 nieparzystych.

II sposób. Liczby parzyste to inaczej liczby podzielne przez 2. Najmniejsza liczba trzycyfrowa, 100, jest podzielna przez 2 (bo ma na końcu zero). Największa, 999, nie jest parzysta. Parzystą jest więc 998. Obie liczby odejmujemy: 998 − 100 = 898. Wynik dzielimy przez 2: 898 : 2 = 449. Dodajemy 1: 449 + 1 = 450. Wśród 900 liczb trzycyfrowych mamy 450 parzystych, pozostałe są więc nieparzyste, i jest ich też 450.

Możemy także wziąć 100 i 1000, albo też 98 i 998 (jedna z przedziału, druga spoza przedziału, obie podzielne przez 2). Wynik będzie taki sam (oczywiście wtedy nie dodajemy już 1).

III sposób. Posłużymy się regułą mnożenia. Pierwszą cyfrą liczby trzycyfrowej parzystej nie może być zero, pozostaje więc 9 możliwości. Druga cyfra może być dowolna, bo nie ma o niej wzmianki w regule podzielności przez dwa. Mamy więc 10 możliwości (bo tyle jest cyfr). Ostatnią cyfrą musi być 0, 2, 4, 6 lub 8. Mamy więc 5 możliwości. Obliczenie znów daje: 9 · 10 · 5 = 450.

Uwaga: mnożenie kilku liczb przez siebie najlepiej wykonywać, kierując się dwiema zasadami. Pokaż!: Ukryj!


  1. Mnożenie przez 10, 100, 1000 itd. wykonujemy jako ostatnie.
  2. Najpierw mnożymy liczby, które mają najwięcej cyfr znaczących (bez końcowych zer), a jeśli mamy liczby o takiej samej ilości cyfr znaczących, to mnożymy dwie największe z nich.

Właściwie jest to tylko jedna zasada… tu rozpisaliśmy ją na dwie dla przejrzystości.

W naszym wypadku trywialne jest mnożenie 9 · 5, co daje wynik 45 (znany z tabliczki mnożenia), a dopiero na końcu przemnożenie tej liczby przez 10, co oznacza tylko dopisanie jednego zera. Mnożenie kolejne 9 · 10 = 90, a następnie 90 · 5 może już sprawić pewne kłopoty osobom mniej wprawionym, bo ileż to jest 90 · 5…



10. Ile 5-literowych słów można utworzyć z liter A, B, K, O, R? Rozwiązanie Ukryj


W zadaniach tego typu czynimy cały szereg założeń:

Zadanie o brzmieniu takim, jak podano, nie powinno się znaleźć w ogóle w podręczniku, a tym bardziej na maturze (ale teoria teorią, a życie życiem…). Rozwiążemy je tutaj tylko jednym sposobem – korzystając z reguły mnożenia, za to przy różnych założeniach. W dołączonym zbiorze zadań można znaleźć inne zadania podobnego typu, które można rozwiązywać także innymi sposobami.

1. Zakładamy, że autorowi chodziło o to, że każdą literę możemy użyć dowolną ilość razy i litery mogą się powtarzać.

Wyraz ma się składać z 5 liter, musimy więc podjąć kolejno 5 decyzji wyboru litery. Do dyspozycji mamy 5 różnych liter. Skoro każda z decyzji ma polegać na wyborze jednej z 5 możliwości, więc łącznie otrzymamy 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 3125 różnych wyrazów.

2. Zakładamy, że autorowi chodziło o to, że każdą literę możemy użyć tylko jeden raz, w związku z czym litery nie mogą się powtarzać.



11. Pewna restauracja oferuje 5 różnych zup, 11 drugich dań i 8 deserów. Ile jest możliwości zestawienia z tych dań obiadu? Rozwiązanie Ukryj


Zakładamy, że obiad składa się z jednej zupy, jednego drugiego dania i jednego deseru. Przed nami stoją więc 3 decyzje, które musimy podjąć.

Aby obliczyć ilość zestawów, możemy sobie narysować prostokąty symbolizujące poszczególne decyzje:

     

W każdy z prostokątów wpisujemy teraz ilość możliwości, które mamy przy podejmowaniu poszczególnych decyzji:

5 11 8

Wymnażamy wpisane liczby: 5 · 11 · 8 = 88 · 5 = 44 · 10 = 440. Zatem możemy zestawić 440 zestawów obiadowych.

Uwaga: Aby szybko i sprawnie pomnożyć jakąś liczbę przez 5… pokaż!ukryj dzielimy ją przez 2 i do wyniku dopisujemy zero (mnożymy przez 10). Możemy także pomnożyć liczbę przez 10, dopisując zero, a wynik podzielić przez 2, np. 88 · 5 = 880/2 = 440.


12. Na ile sposobów można ułożyć na półce 4 książki? Rozwiązanie Ukryj


Aby ułożyć 4 książki, musimy mieć na półce 4 miejsca. Narysujmy je w postaci prostokątów, jak w poprzednim zadaniu.

       

Będziemy teraz zapełniać miejsca książkami. Aby zapełnić pierwsze miejsce, musimy wybrać jedną spośród 4 trzymanych w ręce książek, mamy zatem 4 możliwości wyboru. W momencie zapełniania drugiego miejsca wybieramy już tylko spośród 3 książek, bo jedną już ułożyliśmy. Trzecia decyzja to ułożenie jednej z dwóch pozostałych książek. Gdy zostanie nam ostatnie miejsce wolne, w ręce trzymamy ostatnią książkę, nie mamy więc wyboru. Zapiszmy do środka prostokątów ilości książek, którymi dysponujemy do zapełnienia poszczególnych miejsc:

4 3 2 1

Wszystkich możliwości ułożenia książek jest więc 4 · 3 · 2 · 1 = 12 · 2 = 24.

Do tego rozwiązania wypada dodać trzy uwagi.

Po pierwsze, nie musimy wcale zapełniać miejsc od lewej do prawej. Możemy zacząć od drugiej strony, albo w ogóle wybierać książki na to miejsce, które nam się akurat spodoba, a które pozostanie jeszcze wolne. Nie zmieni to jednak wyniku, bo przecież na przykład 2 · 4 · 3 · 1 to jest tyle samo, co 4 · 3 · 2 · 1. Ważne jest tylko, że w momencie, gdy zapełniamy pierwsze miejsce, mamy do dyspozycji 4 książki, więc wpisujemy 4 do jednego z prostokątów (którego chcemy). Niezależnie od tego, które miejsce zapełnimy, i tak pozostaną nam już tylko 3 książki przy podejmowaniu drugiej decyzji. W istocie więc nasze kaprysy nie zmienią wcale ilości wszystkich możliwych ustawień książek. Najbardziej elegancko byłoby jednak nie kaprysić i zapełniać miejsca w jakimś ustalonym porządku. Nie ma to znaczenia dla obliczeń, ale ładniej wygląda.

Po drugie, zadanie można rozwiązać, odwracając problem „do góry nogami”, co w kombinatoryce nie zawsze jest możliwe. Zamiast podejmować decyzję, jaką książkę położyć na kolejnych miejscach, możemy postąpić inaczej, i przyporządkowywać miejsca książkom. Bierzemy zatem do ręki pierwszą książkę i wybieramy dla niej jedno z czterech wolnych miejsc. Następnie bierzemy drugą książkę i wybieramy jedno z trzech jeszcze niezajętych miejsc. Trzecią książkę możemy już położyć na jednym z dwóch pozostałych miejsce. Ostatnią książkę umieszczamy na jedynym pozostałym miejscu. Obliczenie i wynik są oczywiście identyczne.

Po trzecie wreszcie, miejsca i książki są równorzędne, mimo że z każdą decyzją ubywa nam książek i miejsc. Wyobraźmy sobie, że to nie książki zajmują miejsca na półce, ale czterech kolegów zajmuje miejsca w kinie. Jeśli Adam zajął miejsce nr 3, Marcin miejsce nr 1, Mateusz miejsce nr 4, to dla Andrzeja pozostało miejsce nr 2. Nie oznacza to jednak, że Andrzej nie miał wyboru! Miał – mógł bowiem wepchać się przed kolegów, i wtedy mógłby zająć to miejsce, które mu się spodobało. Ba, jeśli z jakiegoś powodu bardzo zależy mu na miejscu numer 4, może przecież wciąż je zająć, przekonując Mateusza, by przesiadł się na miejsce 2 (prośbą, perswazją, albo… siłą!). Jak już parę razy wspomnieliśmy, w kombinatoryce nie interesują motywy ludzkich wyborów, a jedynie liczby możliwości, które (jak to się mówi, teoretycznie) mają ci, którzy dokonują wyboru. Dlatego właśnie Andrzej ma możliwość zajęcia dowolnego z 4 miejsc, a sposób, w jaki to zrobi, nas już nie interesuje.

Aby uniknąć tego rodzaju rozterek, zadanie z książkami można sformułować inaczej. Niech na półce już leżą 4 książki. Pytanie brzmi, ile jest sposobów ich ułożenia, jeśli możemy każdą z nich przełożyć na miejsce dowolnej innej. Wynikiem będą także 24 rozmieszczenia, unikniemy natomiast wrażenia, że niektóre książki mają więcej możliwości od innych.